Ebenen im Raum
Aufgabe 1: Parameterdarstellung von Ebenen
Eine Gerade im dreidimensionalenRaum wird in der vektoriellen Darstellung beschrieben durch
ist der Ortsvektor zu einem Punkt X auf der Geraden. ist der Ortsvektor des Aufpunktes der Geraden und der Richtungsvektor. Eine solche Gerade dient als Ausgangspunkt für die Herleitung der Parameterdarstellung einer Ebene. Die Gerade mit den Vektoren und ist im Arbeitsbereich zu sehen.
a) Überlege, wie viele Möglichkeiten es gibt eine Ebene in den Raum zu legen, welche die Gerade beinhaltet.
b) Zum Aufspannen einer bestimmten Ebene wird zusätzlich zu noch ein zweiter Richtungsvektor benötigt. Lasse dir diesen anzeigen und benutze die Schieberegler, um seine Richtung und damit die Lage der Ebene zu verändern.
c) Ergänze die Vektordarstellung der Geraden um einen Term mit dem Richtungsvektor , damit die Gleichung einen Punkt X in der Ebene beschreibt. Vergleiche deine Lösung mit der des Arbeitsblatts und benutze die Schieberegler, um den Punkt X in der Ebene zu bewegen.
Aufgabe 2: Normalenform der Ebenendarstellung
Mit der Normalenform kann eine Ebene durch lediglich den Aufpunkt und einen sogenannten Normalenvektor beschrieben werden, anstatt zwei Richtungsvektoren zu verwenden. Für die folgenden Aufgaben kannst du zur besseren Übersicht die Richtungsvektoren aus Aufgabe 1 ausblenden.
a) Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Lasse ihn Dir im Arbeitsblatt einblenden und mache dir klar, dass es nur eine Ebene geben kann, die senkrecht zu diesem Vektor steht und den Aufpunkt A beinhaltet. Hinweis: Bewege die Schieberegler aus Aufgabe 1b), um die Lage der Ebene zu verändern und beobachte, wie sich die Lage von Normalenvektor und Ebene verändern.
b) Was gilt für das Skalarprodukt ? Hinweis: Lasse dir den Vektor einblenden!
c) Warum kann die sogenannte Normalenform der Ebenendarstellung nur von Punkten X erfüllt werden, die in der Ebene liegen? Die Gleichung lautet: