Szabályos - és majdnem szabályos - poliéderek
Szabályos - és majdnem szabályos - poliéderek
Idézzük fel a szabályos poliéderek definícióját:
Egy konvex poliéder szabályos, ha élei, élszögei és lapszögei egyenlők.
Ugyanez kissé részletezve:
- konvex - ebből dódóan egyszerű;
- a). lapjai szabályos sokszögek ; b). lapjai egybevágók;
- a). testszögletei szabályosak; b). testszögletei egybevágók;
A Kocka() parancs és társai.
A GeoGebra szerkesztői igencsak elkényeztették a program felhasználóit azzal, hogy két adott - mozgatható - pontból kiindulva egy-egy paranccsal elő tudják állítani ezt az öt poliédert. E parancsok rendre előállítják a poliéderek csúcsait, lapjait és éleit a segédalakzatok csoportjába száműzve őket, de ott egyenként beállíthatjuk a színezést, stílust, láthatóság vezérlését.
Megadhatjuk a poliédert egy lapjának három, egy lapra eső, egymást követő pontjával is, de csak "helyesen", vagyis úgy, hogy ezek a pontok valóban a lap egymást követő pontjai legyenek.
Pl. ha A=(-1-1,0), B=(1,1,0) , C=(1,1,2sqrt(2)), akkor a Kocka(A,B,C) és Kocka(C,B,A) parancs előállítja az (A,B,C) sík mindkét félterében levő kockát, de a Kocka(B,C,A) parancs nem definiált objektum lesz.
Ha valamit -joggal - hiányolhatunk a fenti appletben az, hogy semmi információt nem nyújt a szabályos poliéderek csúcsainak a koordinátáiról, az azok közötti összefüggőségekről.
Ezt a hiányt pótolja az alábbi applet azzal, hogy a már az előző anyagban alkalmazott két listával: a csúcsok V listájával és a lapok F listájával adjuk meg a szabályos poliédereket, sőt ezek általánosításait is az- un szabályos csillagpoliédereket.
A szabályos csillagpoliédereket úgy kapjuk, hogy eltekintünk attól, hogy a poliéderek egyszerűek legyenek, így megengedjük, hogy a lapok önátmetszők ,vagy ütközők is lehetnek.
Így az alábbi négy alakzattal bővül a szabályos poliéderek köre:
- Kis csillag dodekaéder: lapjai szabályos csillagötszögek, - így a lapok önátmetszők, csúcsai háromélű szabályos testszögletet alkotnak. Csúcsai megegyeznek a konvex szabályos dodekaéder csúcsaival.
- Nagy dodekaéder: lapjai konvex ötszögek, amelyek üköznek egymással.Csúcsai megegyeznek a konvex szabályos ikozaéder csúcsaival.
- Nagy csillag dodekaéder: Lapjai szabályos csillagötszögek, testszögletei önátmetsző szabályos testszögletek. Csúcsai ugyancsak megegyeznek a konvex szabályos ikozaéder csúcsaival.
- Nagy ikozaéder: Lapjai szabályos - de egymással ütköző - háromszögek, testszögletei önátmetszők. Csúcsai megegyeznek a konvex szabályos dodekaéder csúcsaival.