Es 2.18
Considero due punti qualsiasi sulla retta l, siano essi B e C.
Costruisco la retta g passante per A e B. Faccio la circonferenza di centro B e raggio f (ampiezza consentita del compasso) e chiamo E il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta g.
Costruisco la circonferenza di centro E e raggio f e chiamo F il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta l.
Costruisco la circonferenza di centro F e raggio f e chiamo G il punto di intersezione di tale circonferenza con la prima circonferenza costruita (quella di centro B).
Traccio la retta h passante per B e G.
Faccio la stessa costruzione anche in C (con le lettere mostrate in figura). Ho così individuato la retta j passante per C e J.
Chiamo K l'intersezione tra la retta h e la retta j.
La retta passante per A e K è la retta cercata.
Considero i triangoli BEF e BGF. Essi sono congruenti per 1.8 (BF in comune e gli altri lati rispettivamente congruenti dal momento che sono raggi di circonferenze di raggio f. In particolare segue che EBF è congruente a FBG. Posso fare lo stesso ragionamento con i triangoli ACI e JCI e trovo che ACI è congruente a ICJ.
Considero ora i triangoli ABC e KBC. Essi sono congruenti per 1.26 dal momento che BC è in comune e gli angoli alla base sono rispettivamente congruenti per quanto dimostrato sopra. In particolare AB è congruente a BK e AC è congruente a CK.
Avendo dimostrato ciò segue che ABL è congruente a KBL per 1.4 (AB congruente a BK, BL in comune e ABL congruente a LBC). Dunque si ha che ALB è congruente a BLK. Inoltre per 1.13 si ha che la somma di tali angoli deve essere pari a 2 retti, dunque sono entrambi retti