Visualizzare e studiare la velocità di un fenomeno
Fino ad ora ci siamo occupati di funzioni che descrivono il valore di una grandezza (ad esempio il mio patrimonio) in funzione di un'altra (ad esempio il tempo che passa).
Può essere interessante visualizzare come cambia la grandezza che stiamo esaminando, in particolare la velocità con cui cambia. In altre parole potrebbe essere interessante ed utile tracciare e studiare il grafico della velocità dell'output della funzione.
Il grafico seguente mostra il mio patrimonio, espresso in migliaia di euro, al passare dei mesi. Con quale velocità cambia il mio patrimonio mese per mese?
Sei in grado di visualizzare questa velocità su un grafico?
Ci aiuta il fatto che la velocità cambia nei vari tratti in cui è definita la funzione, ma in ognuno di essi è costante. Da cosa è definita?
Abbiamo costruito un nuovo grafico, e quindi una nuova funzione, che mese per mese indica la velocità con cui sta cambiando il nostro patrimonio.
La funzione originale che descrive il patrimonio è costituita da tratti rettilinei, quindi abbiamo raggiunto l'obiettivo in modo abbastanza semplice: in ogni tratto è possibile calcolare la velocità con cui cambia il patrimonio tramite il coefficiente angolare della retta corrispondente. Per ogni tratto , dove in questo caso varia da a , la velocità di quel tratto è data da
UN CASO PIÙ GENERALE
L'esempio che abbiamo visto era piuttosto semplice, perchè la velocità con cui variava il nostro output era costante e poteva essere calcolata con una formula elementare. È importante ricordare che seguiremo questo approccio, che è l'unico che conosciamo, per affrontare anche situazioni più complesse. Ovviamente sarà necessario adattarlo alla nuova situazione.
Come cambia la velocità di guadagno nel caso del grafico sotto?
Rispondi alle domande che ti vengono poste nel modo più completo possibile, ti servono per indagare la situazione e comprenderne gli elementi, poi passa alla fase successiva per ricevere ulteriori suggerimenti.
Abbiamo intuito che la velocità con cui cambia l'output di una funzione è associata all'inclinazione del grafico della funzione stessa. A sua volta questa inclinazione è misurata dal coefficiente angolare della retta tangente alla curva in ogni suo specifico punto.
In questo modo è possibile tracciare un grafico ad ogni valore indichi quanto vale il corrispondente coefficiente angolare, cioè come cambia la velocità dell'output.
Di fatto stiamo costruendo una nuova funzione: mentre quella originale ad ogni valore associa un certo output (nel nostro caso il patrimonio), questa nuova funzione, strettamente associata alla prima, restituisce la velocità con cui tale output sta cambiando. Questa nuova funzione si chiama funzione derivata, probabilmente perchè il suo andamento (e come vedremo anche il calcolo della sua espressione) deriva da quello della funzione a cui fa riferimento.
Nei prossimi capitoli vedremo come poter calcolare in modo diretto il valore di questo coefficiente angolare, ed ottenere quindi punto per punto il risultato della funzione derivata.