E 18 A propeller tétel - és története

Egy kézirat

Az alábbi feladatot Hujter Mihály fedezte fel König Dénes jegyzeteiben. Eszerint a feladatot Kőnig Dénes és Egerváry Jenő ismerte, szerkesztette 1941-ben:

85/b Egy körbeírt[i] ABCDEF[/i] hatszög [i]AB, CD[/i] és EF oldala egyenlő a kör sugarával. Bebizonyítandó, hogy a másik három oldal felezőpontjai szabályos háromszöget alkotnak.
(Egerváry, K. D.) — 85/b Egy körbeírt ABCDEF hatszög *AB, CD* és EF oldala egyenlő a kör sugarával. Bebizonyítandó, hogy a másik három oldal felezőpontjai szabályos háromszöget alkotnak. (Egerváry, K. D.)

E feladat kapcsán Gévay Gábor megtalálta az interneten - Brian J. McCartin a Mysteries of the Equilateral Trinagle (2010) című könyvét, amelynek a 64. oldalán a szerző ezt az összefüggést propeller tételnek nevezte. Ebben a szerző hivatkozott Martin Gardner A Gardner's workout Training Mind and Entertraining the Spirit ( Az elme edzése és a lélek szórakoztatása) . című könyvére, ahol Gardner egy egész fejezetet szánt a címben jelzett témának. (Chapter 33. pp.: 241.-253.) McCartin három rajzot vett át Gardner könyvéből. Mi is ezt tesszük, az első öt ábrát átvéve és kiegészítve Gardner igen izgalmas kommentárjával:

[i]"A néhai [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Leon_Bankoff]Leon Bankoff[/url] (1997-ben halt meg) a kaliforniai Beverly Hillsben élő fogorvos, aki emellett a síkgeometria világszinten elismert szakértője is volt.1979-ben mesélt nekem egy sor lenyűgöző felfedezéséről, amit az általa aszimmetrikus propeller-tételnek nevezett tétellel kapcsolatban tett. Szándékában állt ezeket egy cikkben tárgyalni, de soha nem jutott el odáig, hogy megtegye. Ez egy összefoglalása annak, amit elmondott nekem. Az eredeti propeller-tétel legalább az 1930-as évek elejére nyúlik vissza, és ismeretlen eredetű. Három egybevágó egyenlő oldalú háromszögre vonatkozik, amelyek csúcsai egy [i]pontban találkoznak, mint az [/i]az 1. ábrán árnyékolva látható A háromszögeknek, amelyek egy propeller lapátjaira hasonlítanak, nem kell szimmetrikus mintát alkotniuk, hanem bármilyen helyzetben lehetnek. Egymáshoz érhetnek, vagy akár át is fedhetik egymást. [/i]A[i] BC, DE és FA szakaszokat úgy rajzoljuk meg, hogy egy körbe írt hatszöget alkossanak. A három szakasz felezőpontjai egy egyenlő oldalú háromszög csúcsai. A tétel komplex számokat használó bizonyítása az évente megrendezett [url=https://maa.org/putnam/]William Lowell Putnam verseny [/url]B-1. feladatának megoldásaként jelent meg.
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Harold_Scott_MacDonald_Coxeter]H. S. M. Coxeter[/url] a bizonyítást egy karácsonyi üdvözlőlapon küldte el Bankoffnak, és megkérdezte tőle, hogy tud-e euklideszi bizonyítást adni a tételre. Bankoffnak nem okozott nehézséget ilyen bizonyítást találni. [url=https://users.renyi.hu/~p_erdos/1973-28.pdf]"Az aszimmetrikus propeller" [/url] című dolgozatban Bankoff, [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s_P%C3%A1l]Erdös Pál[/url] és[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Murray_S._Klamkin] Murray Klamkin[/url] elkészítette a tétel első általánosítását.

Megmutatták, hogy a három egyenlő oldalú háromszögnek nem kell egybevágónak lennie. Bármilyen méretűek lehetnek, ahogy a 2. ábrán látható, és a tétel akkor is érvényes. Két bizonyítást adnak, az egyik egy egyszerű euklideszi bizonyítás, a másik komplex számokkal kapcsolatos. Mint korábban, és minden későbbi kiterjesztésben, a háromszögek érintkezhetnek egymással, vagy akár át is fedhetik egymást.

Később Bankoff három további általánosítást tett. Tudomásom szerint ezeket nem publikálták.

Második általánosítás: A propeller-háromszögeknek nem kell egy csúcsban találkozniuk Találkozhatnak bármelyik egyenlő oldalú háromszög csúcsában, ahogyan a 3. ábrán látható.

Harmadik általánosítás: A propeller-háromszögeknek nem kell szabályosaknak lenniük. Elegendő, hogy azonos körüljárású hasonló háromszögek legyenek.

Negyedik általánosítás: A hasonló háromszögeknek nem kell egy pontban találkozniuk! Ha a légcsavarok egy tetszőleges méretű negyedik háromszöghöz csatlakoznak úgy hogy a közös csúcshoz tartozó szögek egyenlők legyenek.

Bankoff 1973-ban bizonyította - elemi úton - a propeller tételnek ezt a végső, általánosítását."
[/i]
[right]M. Gardner[/right] — "A néhai Leon Bankoff (1997-ben halt meg) a kaliforniai Beverly Hillsben élő fogorvos, aki emellett a síkgeometria világszinten elismert szakértője is volt.1979-ben mesélt nekem egy sor lenyűgöző felfedezéséről, amit az általa aszimmetrikus propeller-tételnek nevezett tétellel kapcsolatban tett. Szándékában állt ezeket egy cikkben tárgyalni, de soha nem jutott el odáig, hogy megtegye. Ez egy összefoglalása annak, amit elmondott nekem. Az eredeti propeller-tétel legalább az 1930-as évek elejére nyúlik vissza, és ismeretlen eredetű. Három egybevágó egyenlő oldalú háromszögre vonatkozik, amelyek csúcsai egy *pontban találkoznak, mint az* az 1. ábrán árnyékolva látható A háromszögeknek, amelyek egy propeller lapátjaira hasonlítanak, nem kell szimmetrikus mintát alkotniuk, hanem bármilyen helyzetben lehetnek. Egymáshoz érhetnek, vagy akár át is fedhetik egymást. A BC, DE és FA szakaszokat úgy rajzoljuk meg, hogy egy körbe írt hatszöget alkossanak. A három szakasz felezőpontjai egy egyenlő oldalú háromszög csúcsai. A tétel komplex számokat használó bizonyítása az évente megrendezett William Lowell Putnam verseny B-1. feladatának megoldásaként jelent meg. H. S. M. Coxeter a bizonyítást egy karácsonyi üdvözlőlapon küldte el Bankoffnak, és megkérdezte tőle, hogy tud-e euklideszi bizonyítást adni a tételre. Bankoffnak nem okozott nehézséget ilyen bizonyítást találni. "Az aszimmetrikus propeller" című dolgozatban Bankoff, Erdös Pál és Murray Klamkin elkészítette a tétel első általánosítását. Megmutatták, hogy a három egyenlő oldalú háromszögnek nem kell egybevágónak lennie. Bármilyen méretűek lehetnek, ahogy a 2. ábrán látható, és a tétel akkor is érvényes. Két bizonyítást adnak, az egyik egy egyszerű euklideszi bizonyítás, a másik komplex számokkal kapcsolatos. Mint korábban, és minden későbbi kiterjesztésben, a háromszögek érintkezhetnek egymással, vagy akár át is fedhetik egymást. Később Bankoff három további általánosítást tett. Tudomásom szerint ezeket nem publikálták. Második általánosítás: A propeller-háromszögeknek nem kell egy csúcsban találkozniuk Találkozhatnak bármelyik egyenlő oldalú háromszög csúcsában, ahogyan a 3. ábrán látható. Harmadik általánosítás: A propeller-háromszögeknek nem kell szabályosaknak lenniük. Elegendő, hogy azonos körüljárású hasonló háromszögek legyenek. Negyedik általánosítás: A hasonló háromszögeknek nem kell egy pontban találkozniuk! Ha a légcsavarok egy tetszőleges méretű negyedik háromszöghöz csatlakoznak úgy hogy a közös csúcshoz tartozó szögek egyenlők legyenek. Bankoff 1973-ban bizonyította - elemi úton - a propeller tételnek ezt a végső, általánosítását."
M. Gardner

A propeller tétel változatai

A fenti applet szabad pontjait alaposan megmozgatva tapasztalhatjuk, hogy a bizonyítandó állítás nem függ az adott háromszögek kölcsönös helyzetétől, lehet közös belső pontjuk is. Így meggyőződhetnek olvasóink arról, hogy a feladat metrikus és illeszkedési feltételei, relációi valóban általánosabb összefüggések, mint ahogy ezt egy-egy statikus rajz tükrözheti. Kimondhatjuk, hogy az ötödik - legáltalánosabb - változat két különböző speciális esete a harmadik és negyedik, a harmadiknak a második, és annak az első. Így nyilvánvalóan elegendő a ötödiket igazolni, amely például így fogalmazható meg:

Legyen adott a sík négy azonos körüljárású háromszöge, amelyek közül egynek a csúcsai egybeesnek a másik három nekik megfelelő, azaz egybevágó szögekhez tartozó csúcsával. Mutassuk meg, hogy e három háromszög szabadon maradó, egymásnak megfelelő csúcsait összekötő szakaszok felezőpontjai is az adottakhoz hasonló háromszöget alkotnak!

Az elemi út

Olvasóink minden bizonnyal többször tapasztalták, hogy az "elemi" jelző nem az "egyszerű" szinonimája. Joggal nehezményezhető - mint azt e sorok írója meg is tette - , hogy olykor egy - egy szép probléma még szebb megoldása gyakran úgy kerül elénk, mint ahogy a bűvész elővarázsolja a nyuszit az üres cilinderből, a nagyérdemű publikum legnagyobb ámulatára. Nem szokás közzé tenni azokat az olykor eredménytelen, vagy csak túl bonyolult, esetleg nagyobb matematikai apparátust igénybe vevő megoldásokat, amelyeknél van szebb, elegánsabb. Mi is itt a probléma legáltalánosabb változatának a - minden bizonnyal - legszebb elemi geometriai megoldását mutatjuk be, L. Bankoff gondolatmenetét követve. Azonban akit érdekelnek az ide vezető előzmények és következmények, megismerkedhetnek néhány ezt bemutató GeoGebra munkalappal.

Itt bemutatunk egy elemi megoldást a legspeciálisabb első esetre. A munka szépséghibája, hogy - jobb ötlet híján - hivatkoznunk kellett egy talán kevésbé ismert elemi geometriai összefüggésre, amely ugyancsak igényelte az elemi bizonyítást.
Itt bemutatunk egy elemi bizonyítást a második és harmadik esetre, amelyhez készíteni kellett néhány olyan - ugyancsak elemi - lemmát. Azért, hogy a harmadik esetet visszavezethessük a könnyebben igazolható másodikra.
Itt és itt bemutatjuk az eddigi összefüggések egy - talán újdonságnak tekinthető - következményét, "a nagyérdemű publikum legnagyobb ámulatára".

A probléma alábbi szép, lépésről lépésre jól követhető megoldása remélhetőleg meggyőzi olvasóinkat arról - mint ahogy e sorok íróját is meggyőzte -, hogy Bankoff fogorvos úr ezzel a problémával - és megoldásával - joggal vívta ki azt a lehetőséget, hogy erről közös cikket írjon Erdős Pállal. Minden bizonnyal kevés olyan ember van a matematikát hivatásként művelő, abból élő "szakmai körön" kívül, aki azzal büszkélkedhet, hogy az "Erdős száma" 1. Nos, ismerkedjünk meg az általános propeller tétel Bankoff-féle bizonyításával.

Lépésről lépésre:

A feladat: Bizonyítandó, hogy ha az ABC, AHJ, DBE és FGC azonos körüljárású hasonló háromszögek, akkor a DF, GH és JE szakaszok X, Y, Z felezőpontjai a másik négyhez hasonló háromszög csúcsai.
A terv: Legyen a HAJ∢=BAC∢= α , EBD∢=CBA∢=β és FCG∢=ACB∢=γ , és legyenek P, Q, R, S rendre a DC, CA, AE és CH szakaszok felezőpontjai! Lépésenként megmutatjuk, hogy a PQRΔ , a PSZΔ ,végül az XYZΔ hasonló a négy adott háromszöghöz.
ABCΔ∼ PQRΔ Mivel ABCΔ∼DBEΔ, az a B középpontú β szögű és AB/BC arányú forgatva nyújtás, amely a C pontot A-ba, így E-t D-be viszi át, az AEDC négyszög EC átlóját a DA átlóba viszi, így az (EC)(DA)∢=β és AD/CE=BA/AC . Másrészt az ADCΔ és ECAΔ középvonalai PQ ill, QR, így teljesül, hogy PQ/QR=BA/AC , tehát ABCΔ∼ PQRΔ.
PQRΔ∼PSZΔ: Hasonlóan: mivel az HACΔ és AJEΔ középvonalai QS ill. RZ, a P középpontú α szögű és PR/PQ=AC/AB= AJ/AH arányú forgatva nyújtás az QS szakaszt RZ-be, így PS-t PZ-be viszi át, tehát PQRΔ∼PSZΔ.
PSZΔ∼XYZΔ: Az előbbi gondolatmenetet folytatva használjuk ki, hogy az FCDΔ és GHCΔ középvonalai XP ill. YS, így XP/YS=FC/GC, és (XP)(SY)∢=γ másrészt FGCΔ∼ABCΔ∼PSZΔ, így ezért a Z középpontú γ szögű és ZP/ZS arányú forgatva nyújtás, amely a P pontot S-be, így X-et Y-ba viszi át, vagyis PSZΔ∼ PSZΔ∼XYZΔ, így az előzőek alapján ABCΔ∼ XYZΔ, és ezt akartuk igazolni.

Összefoglalva:

Hova? Tovább!

A dinamikus geometria lehetőségei olykor új problémák felvetésére sarkallhatnak bennünket. Például most is: hogyan kellene megadnunk a feladat adatait, ha el szeretnénk kerülni, hogy a négy adott háromszöglap pontjai fedjék egymást? Erre itt próbáltunk választ találni. A kapott válasz eredménye egyben a propeller tétel következménye is, amely már -talán - nem igényel semmilyen további magyarázatot.

P.S.:

Post sriptum kiegészítést olykor szokás - illik - írni egy munka befejeztével, ha utólag jutott a szerző tudomására az olvasó számára is fontos információ. Ez jelen esetben így történt. Huszár Kristóf az ELTE Eötvös Kollégiumának a diákjaként közölt egy írást arról, hogy a komplex számok alkalmazásával milyen egyszerűvé, elegánssá tehető egy-egy makacs elemi geometriai probléma -mint pl. a fenti - megoldása: Az Aszimetrikus Propeller Talán azért is készült a fent már említett cikk is, hogy megmutassa ugyanannak a problémának az elemi és a komplex számokat alkalmazó megoldását is. A GeoGebra eszköztárában is ott van a lehetősége annak, hogy egy az egészen más koncepción alapuló bizonyításnak a szépségét, egyszerűségét is megismerjék olvasóink. Tarcsay Tamás tanár úr mutatott erre egy igen szép, elegáns megoldást a GeoGebra CAS rendszerének a felhasználásával: https://www.geogebra.org/m/v4xprvxy Végül hadd idézzünk egy mondatot Lovász Lászlónak az egykori munkahelyén - díszdoktorrá avatása alkalmából elhangzott - előadásából: "Egy feladatra nem azért kell több megoldást adni, mert két megoldás meggyőzőbb mint egy, hanem azért, mert minden új megoldás a matematika szépségének más-más aspektusát tárja elénk."