Loxodroma de la esfera
Las loxodromas o líneas de rumbo en la esfera son curvas sobre la superficie esférica que cortan a todos los paralelos con un mismo ángulo. Equivale a decir que cortan a todos los meridianos bajo el mismo ángulo.
(No hay que confundirlas con las hélices esféricas, cuyas tangentes mantienen el mismo ángulo respecto al ecuador).
Siendo:
α: ángulo entre una loxodroma y los paralelos
k = tan(α)
u: longitud (en radianes)
w: latitud (en radianes)
r: radio de la esfera
La ecuación diferencial de la curva es:
dw/du = k cos(w)
De donde:
u(w) = 1/k log(tan(w/2 + π/2))
De la que se obtienen las siguientes ecuaciones paramétricas:
x = r cos(t) / cosh(k t)
y = r sen(t) / cosh(k t)
z = r tanh(k t)
De la que se obtienen las siguientes ecuaciones paramétricas:
x = r cos(t) / cosh(k t)
y = r sen(t) / cosh(k t)
z = r tanh(k t)
Si la curva corta al ecuador en la longitud α las ecuaciones se modifican en la forma:
x = r cos(t+α) / cosh(k t)
y = r sen(t+α) / cosh(k t)
z = r tanh(k t)