Differentiëren + opgaven 47 en 48
Uitleg
Je hebt gezien dat je bij een functie een afgeleide functie kunt opstellen. Die afgeleide zegt iets over de veranderingen van de grafiek van de functie.
Differentiëren is een techniek om afgeleiden te vinden.
Tot nu toe heb je gezien hoe de afgeleide functie kunt opstellen door het differentiequotiënt op het interval [x, x+h] te berekenen en dan h naar 0 te laten naderen.
Deze manier kun je ook toepassen bij functies met hogere machten, maar het wordt wel steeds bewerkelijker naarmate de machten groter worden. Gelukkig is er ook een algemene regel waarmee je van machtsfuncties snel de afgeleide kunt bepalen.
Algemeen kun je zeggen dat de afgeleide van f(x) = cxn gelijk is aan f'(x) = ncxn-1 voor elke waarde van x.
In woorden: de afgeleide krijg je door de exponent te vermenigvuldigen met de oorspronkelijke functie waarvan de exponent precies één kleiner is dan die van de originele (machts)functie .
De afgeleide van bijvoorbeeld f(x) = 3x7 is f'(x) = 7⋅3x7-1= 21x6.
Je noemt het gebruik maken van dergelijke regels differentiëren en de regels zelf heten differentieerregels.
Voor de constante functie f(x) = c geldt dat de afgeleide f'(x) = 0 is. Door de functie te schrijven als f(x) = cx0 kun je dit beredeneren met de differentieerregel. Je krijgt f'(x) = 0⋅cx-1 = 0. Als je naar de grafiek van deze constante functie kijkt zie je ook dat de de helling overal 0 is, omdat je te maken hebt met een horizontale lijn.
Bij het differentieren van de som of het verschil van meerdere functies gebruik je de somregel. Die regel luidt:
De afgeleide van de som (of het verschil) van twee functies is de som (het verschil) van de afgeleiden van die functies.
Een voorbeeld is de functie f(x) = 3x2 − 25x + 10. Deze functie kun je zien als de som van de drie functies f1(x) = 3x2, f2(x) = -25x en f3(x) = 10. Van deze drie losse functies kun je de afgeleide bepalen met bovenstaande regel. Nu kun je ook de afgeleide van f gegeven.
De afgeleide is: f'(x) = 2⋅3x2-1 − 25x1-1 + 0 = 6x2 − 25.
Algemeen kun je zeggen dat de afgeleide van f(x) = cxn gelijk is aan f'(x) = ncxn-1 voor elke waarde van x.
In woorden: de afgeleide krijg je door de exponent te vermenigvuldigen met de oorspronkelijke functie waarvan de exponent precies één kleiner is dan die van de originele (machts)functie .
De afgeleide van bijvoorbeeld f(x) = 3x7 is f'(x) = 7⋅3x7-1= 21x6.
Je noemt het gebruik maken van dergelijke regels differentiëren en de regels zelf heten differentieerregels.
Voor de constante functie f(x) = c geldt dat de afgeleide f'(x) = 0 is. Door de functie te schrijven als f(x) = cx0 kun je dit beredeneren met de differentieerregel. Je krijgt f'(x) = 0⋅cx-1 = 0. Als je naar de grafiek van deze constante functie kijkt zie je ook dat de de helling overal 0 is, omdat je te maken hebt met een horizontale lijn.
Bij het differentieren van de som of het verschil van meerdere functies gebruik je de somregel. Die regel luidt:
De afgeleide van de som (of het verschil) van twee functies is de som (het verschil) van de afgeleiden van die functies.
Een voorbeeld is de functie f(x) = 3x2 − 25x + 10. Deze functie kun je zien als de som van de drie functies f1(x) = 3x2, f2(x) = -25x en f3(x) = 10. Van deze drie losse functies kun je de afgeleide bepalen met bovenstaande regel. Nu kun je ook de afgeleide van f gegeven.
De afgeleide is: f'(x) = 2⋅3x2-1 − 25x1-1 + 0 = 6x2 − 25.Opgave 47
Differentieer de volgende functies:
a.
b. g(x)=-4x3+5x
c.
Opgave 48
Bij een functie van de vorm f(x) = cx2 kun je een afgeleide (functie) f'(x) opstellen door het differentiequotiënt op het interval [x, x+h] te bewerken.
a. Doe dat.
b. Laat je nu h naar 0 naderen, dan vind je de afgeleide van f . Bepaal deze afgeleide.
Op deze wijze ontdek je dat je van alle functies van de vorm f(x)=cxn de afgeleide kunt bepalen f'(x) = cnxn-1.
c. Bepaal met behulp van deze algemene regel de afgeleide van f(x) = 3x5.