１１．三角比

★向きが変わってもわかるようにしょう

１.直角三角形と三角比

このページは電子ブック「探求　数学Ⅰ」の一部です。 ＜直角以外の角はペア＞ 直角以外のペアを角A,角Bとし、直角をCとするとき、 角A,B,Cの対辺をa,b,rとしてみる。・Aの角の正弦sinAはAからスタートし、[A→B→C（直角が最後）]の順になぞる、ｓの筆記体に似ている。

と、斜辺rが分母、Aに正対する対辺aが分子になる。・Aの角の余弦cosAはAをはさむ[B→A→C（直角が最後）]の角A記号順で、ｃの文字に似ている。

、斜辺が分母、Aの対辺でも斜辺でもない残りの辺、Aにくっつく辺が分子になる。・Aの角の正接tanAはAからスタートして直角を経由しACBの順で、ｔの筆記体に似ている。 A地点から、直角Cまでの距離分のCからBの高さを仰ぎ見る角の傾き。すると、ペアで定義からsinとcosが入れ替わる。A+B=180-90=90度から、 sinB=cosA=cos(90-B)。 cosB=sinA=sin(90-B)。 tanB=1/tanA(逆数になる） （例）おなじみの値なので、計算できてしまうもの。　◯＋△＝９０（度）ならsin◯＝cos△ 　√３がからむか1/2がからむと30度か60度。√2がからむと45度。 　sin30°＝cos60°=

、　sin60°＝cos30°=

。 tan30°=1/tan60°=

、tan60°=

sin45°=cos45°=

、tan45°=

=1。 （例）値がわからなくても、置き換えだけはできる例　sin20°=cos70°、tan20°=1/tan70°。（例）角度θがわからなくても、直角三角形の３辺の長さから決まる例。 θが90°未満で、sinθ＝3/5のときのcosθ、tanθは？　斜辺１の直角三角形とすると、　残りの辺の長さは1-(3/5)²=16/25の平方で4/5。　だから、 cosθ=4/5。tanθ=3/4。

２．半円周と三角比

＜円周上で三角比を再定義する＞ 中心Oで半径ｒの半円を、A(r,0),B(0,r),C(-r,0)の順にかく。円周上の点をPとする。半径OPが半径OAと作る角AOPは０°以上180°以下で、角AOPをθ(シータtheta）とする。・θが90°未満のとき、OPを斜辺として、 Pからｘ軸におろした垂線の足をHとする。直角三角形OPHで、半径OP＝rだから、三角比は次のようにかける。

すると、点Pのｘ座標＝OH＝rcosθ、ｙ座標＝PH＝rsinθとなる。そして、tanθ＝ｙ/xで原点Oを通る動く半径（動径）OPの傾きになる。三角比を動点の座標と動径の傾き再定義する。三角比の再定義「半径ｒの円周と直線y＝mxの交点Pについて、P（r cosθ、r sinθ)、m＝tanθ」 ＜θと180-θの三角比＞ θが90°と180°の間のとき、α＝180-θとなる角AOP’を作る。 OP’はOPをｙ軸に対称移動。 OP’とOPのｙ座標は同じで、ｘ座標と傾きは異符号で同じ絶対値になる。

◯＋△＝180（度）なら　sin◯＝sin△, cos◯＋cos△＝０ 　（例）値が計算できるもの。 cos120°=-cos60°=-

,sin120°=sin60°=

,tan120°=-tan60°=

。 cos150°=-cos30°=

,sin150°=sin30°=

,tan150°=-tan30°=

。 -tan120°+2sin150°＝-(-tan60°)+2(sin30°)=√3+2(1/2)=√3+1 (例）数式として置き換えられるもの cos160°＝−cos20°,sin160°＝sin20°,tan160°＝−tan20°。（例）角度θがわからなくても、直角三角形の３辺の長さから決まる例。 θが90°と180°の間で、sinθ＝3/5のときのcosθ、tanθは？単位円周（半径１の円周）上の動点Pのy座標を3/5とする。 180-θのときのｙ座標も3/5。 x座標は直角三角形の残りの辺の長さで1-(3/5)²=16/25の平方で4/5 だから、cos(180-θ)=4/5。cosθ=-4/5。tanθ=-3/4。 ＜Pが軸上の三角比＞ θが0°のときは、再定義により、OP=OA=(r,0)となるから、 cos90°=1、sin90°=0、tan90°＝0/1=0となる。 θが90°のときは、再定義により、OP=OB=(0,r)となるから、 cos90°=0、sin90°=1、tan90°＝無限大となる。 θが180°のときは、再定義により、OP=OC=(-r,0)となるから、 cos90°=-1、sin90°=1、tan90°＝0/-1=0となる。 ＜θとθ＋90の三角比＞ ・θが90°未満のとき、α＝θ＋90°となる角AOP’を作る。直角三角形を90°回転移動することと同じで、合同に目をつける。余弦は符号に注意する。 鈍角は90引いて鋭角にし、sinとcosが入れ替える。cos鈍角はマイナス。

（例）cos135°=-sin45°, sin135°=cos45°,tan135°=-1/tan45° cos100=-sin10,sin100=cos10,tan100=-1/tan10。

★合同と符号に目をつけよう

★対応辺に目をつけよう

３．三角方程式

＜等式の証明＞ 単位円（半径１の円）の方程式は、三平方の定理からx²+y²=1²となる。動点Pの座標は（cosθ, sinθ)となる。これを代入すると、(cos θ)²+(sinθ)²=1。cos²θ+sin²θ＝１とかく。 これは、sinとcosの置き換え式として、よく使われる。 cosθとsinθの絶対値は１以下である。また、tanθ=sinθ/cosθは、tanの定義の式でもあるが、相互の置き換えに使える。（例）「sinθcosθ=

」の証明は？左辺を変形して右辺にするか、右辺を変形して左辺にする。右辺の分母と分子にcosθをかけると、分子はsinθ。分母はcosθ+sin²θ/cosθ＝(cos²θ＋sin²θ)/cosθ=1/cosθ。右辺はsinθ/(1/cosθ)=sinθcosθ。 ＜三角方程式＞ θが０°以上180°以下、ｐは0以上1以下、ｑは−1以上1以下、ｒは任意の実数。 単位円のｘ座標がcosθで正負どちらもありうる。ｙ座標がsinθで負にならない。 図をかいてしらべる。・sinθ＝ｐとなるのは、動点のｙ座標がｐになることで、 90°以下の角をαとすると、180ーαも解になる。・cosθ＝ｑとなるのは、ｘ座標とθは1対1に対応するので、１つに決まる。・tanθ＝ｒとなるのは、原点を通る直線の傾きがｒとなるときのθ。（例）sinθ+cosθ=1/2のときのsinθcosθの値は？両辺2乗して、(cos θ)²+(sinθ)²=1を活用すると、1+2sinθcosθ=1/4。sinθcosθ=-3/8 （例)　tanθ=-2(θは90以上180°以下）のときの1/cosθの値は？

（例）2sin²θ+5cosθ+1=0(θは90以上180°以下）となるθは？　cosθ＝x(絶対値は1以下）とおくと、左辺＝2(1-x²)+5x+1=-2x²+5x+3=-(2x²-5x-3)=-(2x+1)(x-3)=0となる。 x=3,-1/2<=1から、cosθ=-1/2から、cos(180-θ)=1/2 で180-θ＝60。θ＝120°