Eigenwerte - Eigenvektoren - Diagonalisieren - Jordan-Normalform
- Autor:
- hawe
Allgemeine Version Rn
Elementarmatrizen Ex
Ex(a,b,c): Addiere c*Zeile b zu Zeile a ===> Multiplikation von Links
Ex(a,b,c): Addiere c*Spalte a zu Spalte b ===> Multiplikation von Rechts
Charakteristisches Polynom |A - λ E|=0
4: (A - λ Identity(n))
>
Determinanten-Berechnung (bringe [4] auf untere/obere Dreiecksmatrix) z.B
5: charPolyn:=Determinant(A - λ Identity(n))
> =-(λ + 2) (λ - 7)²
Nullstellen des char. Polynoms definieren die Eigenwerte
6: Eigenwerte:=CSolutions(charPolyn,λ)
>
Aus [4] ===> Eigenwerte = -2 7 7 (algebraische Vielfachheit des EW 7 ist 2: doppelte Nullstelle)
8: Vergleiche die geometrische Vielfachheit n-Rang (A - λi E) entsprechend der Dimmension des Vektorraumes der Eigenvektoren. d.h.
>
λ =-2 ==> DimEigenraum 1 ==> es gibt einen Eigenvektor (Basis)
λ = 7 ==> DimEigenraum 2 ==> es gibt zwei Eigenvektoren (Basis)
Minimal-Polynom χ{A}
Faktoren ( A - λ E) ergeben Nullmatrix
| Ex(2,3,1) (A - λ*Identity(n))Ex(2,3,-1)Ex(1,2,2/(λ-6)) ODER | Ex(3,2,4(-1)/(λ-6))Ex(3,1,-2/(6-λ))Ex(2,3,-1) (A - λ*Identity(n)) |
Ermittlung der Eigenvektoren
Der zum Eigenwert λi gehörende Eigenvektor EVi ist Lösung der Gleichung ( A - λi E ) Xi = 0.
Aus technischen Gründen wird in folg. Gleichungen das Gleichheitszeichen nicht geschrieben (=0 unterdrückt).
Im allgemeinen Fall wären drei verschiedene Eigenwerte möglich, für die die Gleichung zu untersuchen wäre:
[10,13,16] l1, l2, l3 sind homogene LGS:
für eine nicht triviale Lösung muss mind. eine der Variablen unbestimmt bleiben.
===> [11] Aλ1: z = z ===> z bleibt unbestimmt ,
===> [14] Aλ2: y = y, z = z ===> y,z bleiben unbestimmt
===> die Zeilen [12,15,17] sind deshalb längere Abhandlungen, weil alle 3 Variablen untersucht werden, um die unbestimmten Variablen zu identifizieren, die dann wechselweise auf 1/0 gesetzt werden. Die gefunden Eigenvektoren EV1, EV2, EV3 setze ich dann zur Transformationsmatrix T für die Jordanmatrix D zusammen:
| =-2 | =7 | |
| 10: l1:=(A-Eigenwerte(1) Identity(n)) X > | 13: l2:=(A-Eigenwerte(2) Identity(n)) X > | 16: l3:=(A-Eigenwerte(3) Identity(n)) X > in diesem Fall gibt es nur 2 Eigenwerte, der vorgesehene Rechenschritt ergibt {} |
| 11: Aλ1:=Solutions( I1 , X ) > | 14: Aλ2:=Solutions( I2 , X ) > | 17: Aλ3:=Solutions( I3 , X ) > |
| 12: > | 15: > | 18: > |
| 19: T:=Transpose(Join(EV1,EV2,EV3)) ===> > | 20: D:=T^(-1) A*T > |
Diagonalisierbarkeit
Eine n×n-Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes von A mit seiner algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
Eine n×n-Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare n×n-Matrix T gibt, so dass T−1A T =D eine Diagonalmatrix ist.
Eine n×n-Matrix A heißt orthogonal, wenn A AT=ATA=En ist, d.h. wenn A−1=AT.
Sei A eine orthogonale Matrix. Dann bilden die Spaltenvektoren von A eine Orthonormalbasis des Rn. Die Zeilenvektoren von A bilden ebenfalls eine Orthonormalbasis des Rn.
MatheMaterialien (moodle.ruhr-uni-bochum.de)
Für reelle Matrizen gilt:
- Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar D:=T^t A T
- Jede symmetrische Matrix ist orthogonal diagonalisierbar
- Jede symmetrische Matrix hat einen Eigenwert
- Alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.
- Eine symmetrische n×n-Matrix mit λ≠μ zwei verschiedenen Eigenwerte mit zugehörigen Eigenvektoren v⃗ und w⃗ . Dann sind v⃗ und w⃗ orthogonal zueinander, das heißt, ihr Skalarprodukt ist v⃗ ⋅w⃗ =0
- positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind,
- positiv semidefinit, falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind,
- negativ definit, falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind,
- negativ semidefinit, falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind,
- indefinit, falls positive und negative Eigenwerte existieren.