FUNCIÓN LOGARITMO
- Autor:
- Alejandro Rivera
ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA
Antes de empezar a estudiar el tema que nos ocupa, es necesario recordar algunas cosas que ya nos son conocidas para, a partir de ahí, construir nuevos aprendizajes.
Lo primero que hay que recordar, es que en el universo y la naturaleza, todo tiende al equilibrio y, por lo tanto, siempre existe algo que contrarresta los efectos de cualquier cosa.
A manero de ejemplos, digamos que las siguientes duplas de conceptos se equilibran entre sí: luz - oscuridad; positivo - negativo; calor - frío; etc.
En el campo de las matemáticas sucede algo similar en cuanto al equilibrio de las operaciones aritméticas: suma y resta; multiplicación y división, potencia y raíz.
Para el caso de las funciones exponenciales, su operación contraria es, precisamente, el logaritmo.
Para entender la definición del logaritmo, recordaremos las partes que componen un término:
axn = y
en donde:
a es el coeficiente.
x es la base.
n es el exponente.
y es el resultado.
MODELO ALGEBRAICO
Una vez que ya recordamos las partes que conforman un término, podemos comprender la definición del logaritmo:
en donde
b es la base.
x es el argumento del logaritmo.
y es el resultado.
Haciendo corresponder las partes del logaritmo con las de un exponencial, tenemos entonces que:
si y sólo si
Nota que:
1) La base de la función exponencial es la misma base que el logaritmo.
2) El resultado de la función exponencial es el argumento del logaritmo.
3) El exponente de la función exponencial corresponde al resultado de la función logaritmo.
Las condiciones que deben cumplir los componentes de la función son:
1) El dominio son todos los números positivos { de tal manera que }
2) El rango son todos los números reales {}
3) Si b>1, la gráfica de la función es creciente y contínua.
4) si b>1, el resultado del logaritmo es negativo para x<1 y es positivo para x>1.
5) Si 0 <b<1, la gráfica de la función es decreciente y contínua.
6) Cuando x=1, invariablemente el resultado del logaritmo es 0.
7) Cuando x=b, invariablemente el resultado del logaritmo es 1.
8) si x0 entonces el resultado del logaritmo no está definido.
Entonces, asignando valores a todos los parámetros de la función logaritmo, podemos escribir:
porque
porque
si y sólo si
y así sucesivamente.
Hay algunos logaritmos notables:
1) Logaritmo base 10: Es el que viene programado en las calculadoras. Generalmente, cuando se utiliza un logaritmo base 10, no se indica la base en el logaritmo.
2) Logaritmo con base natural: Cuando la base del logaritmo es el Número de Euler, se dice entonces que tenemos un logaritmo natural.
Éste último lo estudiaremos un poco más adelante.
PROPIEDADES Y LEYES DE LOS LOGARITMOS
Así como todas las operaciones matemáticas tienen leyes, propiedades, postulados, teoremas, etc, también la función exponencial tiene leyes y propiedades que se pueden aplicar para resolver operaciones donde intervienen.
A saber, las leyes y exponentes de los logaritmos son las siguientes 8:
1) si y sólo si 5)
2) 6)
3) 7)
4) 8)
MODELO GRÁFICO
Una vez que está comprendido el concepto de la función logaritmo, podemos entonces establecer el modelo gráfico de la siguiente forma:
Sea f(x) =logb(x)
Función Logaritmo
En la gráfica podrás observar todas las características descritas previamente.
Podrás darte cuenta también que la recta x=0 es una asíntota vertical, por lo que la gráfica jamás tocará el eje de las ordenadas, y mucho menos llegarán a cruzarse (otra vez, la comparación con mi crush).
EJEMPLOS RESUELTOS:
A continuación veremos dos ejemplos resueltos para observar la aplicación de algunas de las leyes y propiedades de los logaritmos:
1) Calcula el resultado de
Aplicando la propiedad 8, podemos usar la calculadora de la siguiente forma:
2) Calcula el valor de x si
De acuerdo a la definición, si y sólo si
así pues,
COMPROBACIÓN:
3) Calcula el valor de x si
Aplicando logaritmo a ambos miembros de la igualdad, obtenemos
Aplicando la propiedad número 7:
Despejando:
4) Calcular el valor de x si
Aplicando logaritmo a ambos miembros de la igualdad:
De acuerdo a la propiedad número 7:
Multiplicando el segundo miembro:
Pasamos los términos que contienen x al primer miembro de la igualdad y resolvemos los valores numéricos:
Factorizando el primer miembro de la igualdad por factor común:
Se resuelven los valores numéricos:
Despejando x:
SOLO PARA PRACTICAR
Ahora te toca resolver algunos ejercicios de práctica y comparar tus resultados.
1) Encuentra el valor de b si
SUGERENCIA: Utiliza la definición del logaritmo.
RESPUESTA: b=10
2) Usando la calculadora, obtén el resultado de
SUGERENCIA: Usa la propiedad número 8.
RESPUESTA: 2
3) Calcula el valor de x si
SUGERENCIA: Aplica logaritmos en ambos miembros de la igualdad y después usa la propiedad número 7.
RESPUESTA: x=3