１０．２次方程式の解の配置
１.全実数で成り立つ２次不等式
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＜判別式と二次関数の正負＞
下に凸なとき、判別式Dが負であることと、
２次関数が正（ｘ軸の上にある）は同値
下に凸なとき、判別式Dが０以下であることと、
２次関数が０以上（ｘ軸以上）は同値
上に凸なとき、判別式Dが負であることと、
２次関数が負（ｘ軸の下にある）は同値
上に凸なとき、判別式Dが０以下であることと、
２次関数が０以下（ｘ軸以下）は同値
（例）
「すべての実数ｘについて、f(x)=mx2+6x+2m-3>0が成り立つときのｍの範囲」は？
m>0とD=36-8m2+12m=-4(2m2-3m-9)=-4(2m+3)(m-3)<0が両方成り立つから、m>3
★判別式の値に目をつけよう
2.解の正負
＜異なる２解＞
ともに正
判別式Dが正、ｙ切片が正、軸のｘが正。
ともに負
判別式Dが正、ｙ切片が正、軸のｘが負。
正と負
判別式Dが正、ｙ切片が負。
2解p,qと0,1,2が0,p,1,q,2の順に並ぶ
f(0),f(1),f(2)の順に正、負、正となる。
（中間値の定理からfの正負の変化の途中で１回は交わるから。）
（例）
「f(x)=x2-ax-a+8=0が異なる２つの正の解をもつaの範囲は」？
D=a2+4a-32>0とf(0)=-a+8>0と軸のx=a/2>0がすべて成り立つから、aは４と８の間。
（例）
「f(x)=x2-ax-a+8=0が異なる２つの解をもつときｘ軸を切り取る線分の長さ」は？
D=a2+4a-32>0とするとき、小さい解はα＝(a-√D)/2,大きい解はβ＝(a+√D)/2。
だから、その距離は√D/2+√D/2=√D＝|βーα|