Lezione 2 : percorso storico-matematico per introdurre i complessi
UNA EVIDENTE CONTRADDIZIONE!
- siamo partiti dalla equazione di 3° grado in forma ridotta:
- La soluzione trovata tramite la formula di Cardano da come risultato:
- si osserva in modo grafico (ma a volte anche con semplice sostituzione) che una delle soluzioni è sicuramente e le altre due sono due valori reali e
- si evince una evidente contraddizione
Come risolve Bombelli questa contraddizione?
Il contributo di Rafael Bombelli fu fondamentale per superare questa contraddizione.
Egli decise di usare comunque questi "numeri impossibili".
A tale scopo definì: 1. , unità immaginaria ; 2. ; 3. le operazioni tra questi numeri tramite regole precise.
Tenendo conto di questa introduzione:
Come hai potuto constatare, la soluzione dell'equazione è : Bombelli intuì che le radici che contenevano l'unità immaginaria non erano assurde: erano uno strumento per arrivare a soluzioni reali. Mostrò che , nel caso dell'equazione , manipolando quei numeri, qualla strana soluzione con coincideva con una delle soluzioni reali dell'equazione. Bombelli riuscì a dimostrare che e che A te viene richiesto solo di verificare quanto Bombelli dimostrò, ovvero che e che . Svolgi i due cubi sul tuo quaderno per verificare le due uguaglianze. A questo punto è facile dedurre a quale delle tre soluzioni reali coincide , soluzione di Scrivi la soluzione nello spazio risposta.
Determiniamo le altre due soluzionin reali.
Ora che una radice reale è nota, determina le altre due radici dell'equazione Ricorda che puoi usare il metodo di Ruffini, particolarmente agevole quando è noto uno zero del polinomio. Scrivi nello spazio risposta le altre due radici dell'equazione.
La rivoluzione di Bombelli
Ampiamento degli insiemi numerici, dai Naturali ai Complessi
E così Bombelli contribuì in modo determinante ad "ampliare" l'insieme dei numeri REALI, ovvero aggiunse nuovi numeri , che chiameremo COMPLESSI , per poter risolvere "problemi" che precedentemente sembravano irrisolvibili. Esponi nello spazio risposta un breve "excursus didattico" sugli insiemi numerici, dai Naturali ai Complessi, ricordando che ogni ampliamento nasce da un problema che i numeri "precedenti" non riescono a risolvere.