Corte (deslizamiento sesgado)

Autor:Rafael Losada Liste

Tema(s):Vectores 2D (Bidimensionales), Álgebra, Geometría, Matrices, Figuras planas o Formas, Transformación de semejanza o Semejanza, Transformacionse geométricas, Vectores

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Comando GeoGebra asociado: Desliza Hasta ahora nos hemos limitado a exponer las cuatro isometrías, es decir, las cuatro transformaciones afines invertibles (equivalentes a un cambio de sistema de referencia) en las que la matriz de cambio de base es ortogonal, lo que a su vez equivale a decir que los vectores a y b del cambio de base han de ser ortogonales y unitarios. En definitiva: la imagen del cuadrado unidad es otro cuadrado unidad. Hemos visto, además, que basta analizar las transformaciones lineales, pues las correspondientes transformaciones afines no son más que composiciones de aquellas con traslaciones. Así que solo nos queda preguntarnos qué otros tipos de transformaciones lineales, no isométricas, podemos realizar. Estos tipos son solo dos: cortes (o cortantes o cizallamientos) y escalados. En esta actividad veremos los cortes. Son transformaciones en los que un punto se desplaza en la dirección de una recta que pasa por el origen, pero de modo que su desplazamiento es proporcial a la distancia a esa recta. Primero veremos los casos básicos, en los que el corte tiene la dirección de uno de los ejes. Distinguiremos entonces entre el corte dirección X y el corte dirección Y:

En el corte X, el vector a permanece inalterado (coincide con i), mientras el vector b abandona la vertical, "inclinándose" respecto a ella, de tal modo que el cuadrado unidad se transforma en un romboide de base y altura 1. Observa que cada sección horizontal (segmento azul) del romboide es la misma que la del cuadrado unidad original.
En el corte Y, el vector b permanece inalterado (coincide con j), mientras el vector a abandona la horizontal, "inclinándose" respecto a ella, de tal modo que el cuadrado unidad se transforma en un romboide de base y altura 1. Observa que cada sección vertical (segmento azul) del romboide es la misma que la del cuadrado unidad original.

Los cortes no conservan la forma de las figuras (son transformaciones anamórficas: ver aquí un famoso ejemplo), pues no conservan los ángulos (a y b ya no son perpendiculares) y tampoco conservan las distancias, excepto en la dirección de corte. Pero observemos que, en ambos casos, el área del romboide coincide con el área del cuadrado unidad. Por lo tanto, los cortes en el plano sí conservan las áreas de las figuras. En la siguiente construcción puedes comprobar el efecto de ambos casos de corte. Las respectivas matrices de cambio de base son:

Corte X: Corte Y:

donde c_x y c_y son los factores de corte:

c_x = tg(α), siendo α el ángulo de inclinación de b con respecto al eje Y.
c_y = tg(β), siendo β el ángulo de inclinación de a con respecto al eje X.

Los puntos del eje permanecen fijos, mientras que los puntos a una distancia d del eje son desplazados c d en la dirección del eje (c_x d en el corte X y c_y d en el corte Y). En cada caso, prueba a mover en la construcción el punto P en dirección perpendicular a la dirección del corte. Para realizar un corte en otra dirección que no sea horizontal o vertical, basta componer el corte con los correspondientes giros. Así, para realizar un corte paralelo a una recta que forme un ángulo s respecto al eje X, giramos esa recta -s grados, realizamos el corte y volvemos a girarla s grados:

O bien, si consideramos que el corte tiene por dirección el vector unitario u=(u_x, u_y), esa última matriz es equivalente a la matriz:

Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

Corte (deslizamiento sesgado)

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