Tangente a cónica dada por 2 tangentes y 3 puntos. Polaridad
Cónica determinada por tres puntos, A, B y C, y las tangentes a dos de ellas (tA y tC). Determinar tB. Problema dual a este.
El punto de intersección de las dos tangentes conocidas, P, tiene como polarP la recta que pasa por A y C. La recta p, que pasa por P y B será la polar de un punto, Polop. Como la polar de este punto contiene al punto de la cónica B, la tangente tB es la recta que contiene a B y al Polop.
Polop puede determinarse empleando la propiedad de que, en la involución subordinada sobre la recta polarP los puntos A y C son puntos dobles que separan armónicamente parejas de puntos conjugados, como por ejemplo el Polop y el pie de su polar, Piep. No queda más que determinar una cuaterna armónica (pasos 1 a 6).
El problema se puede resolver también considerando la cónica como base de dos series superpuestas, A B C y A' B' C'. La recta ac' es la tangente tA, la recta cb' es la tangente tC, y la recta ba' será la tangente buscada. No queda más que determinar el eje proyectivo de las series para hallar la solución.
Nótese que esta construcción no es más que un caso particular de la anterior, en la que el Pcualquiera en tc se sitúa en la recta que une A y B (concretamente en BC).