La simetría del Nim
- Autor:
- Rafael Losada Liste
- Tema(s):
- Combinatoria, Lógica, Números, Reflejo o Reflexión, Simetría
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Juegos.
El juego Nim se hizo popular al aparecer en la película El año pasado en Marienbad (1961). En los últimos años, su popularidad aumentó en España al figurar en el programa televisivo El hormiguero, con el nombre de El juego de los 15 palos.
Se disponen varios montones de objetos, que pueden ser palos, cerillas, monedas, o cualquier cosa. Aquí usaremos monedas. Cada jugador, en su turno, puede coger todas las monedas que quiera, pero solo del montón que elija en su turno. Es obligatorio retirar al menos una moneda.
Hay dos versiones, denominadas "normal" y "misère". En la normal, gana el jugador que coge la última moneda. En la misère, pierde el que se lleva la última. La versión misère, la más habitual, es la que se juega tanto en la película como en el programa de televisión.
Para observar bien la estructura simétrica del juego, comencemos con pocos montones:
- Con solo un montón de monedas, está claro que gana siempre el primer jugador, ya sea retirando todas las cerillas (versión normal) o retirando todas menos una (versión misère).
- Ahora supongamos que tenemos dos montones de monedas, por ejemplo con 7 y 5 monedas. El primer jugador puede ganar provocando la simetría: le basta retirar 2 monedas del primer montón, igualando así los montones, y después imitar lo que haga el otro jugador. La estrategia también vale para la versión misère, sin más que alterar la simetría cuando una de las pilas se reduzca a una o ninguna moneda.
- Pero, ¿cómo provocar la simetría cuando hay más de dos montones, todos con un número diferente de monedas? Aquí entran las matemáticas. El resultado conocido como Teorema fundamental de la numeración nos permite descomponer, de modo único, cada montón de monedas como suma de varias pilas, todas ellas potencias de 2. Ahora, como todas las pilas tienen el mismo tamaño, ¡podemos provocar la simetría entre ellas!
Dependiendo de las reglas, el tipo de descomposición puede variar. Veamos el siguiente ejemplo.
Ahora hay 30 monedas sobre la mesa. El primer jugador (A) puede retirar las que quiera, pero no todas. El segundo jugador (B) también puede retirar las que quiera, siempre que no superen el doble de las que retiró A. Sigue así el juego, retirando por turno cada jugador las que quiera, siempre y cuando no superen el doble de las que retiró el otro en su último robo. Gana el que se lleve la última moneda.
Este el llamado Nim de Fibonacci. Todo natural puede ser expresado de forma única como suma de números de Fibonacci; así, 30 se puede poner como 21+8+1. El jugador A puede ganar siempre, retirando sistemáticamente tantas monedas como indique el menor de estos sumandos (en la primera jugada, 1).
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.