Aranyos arányosak (11.)

1. probléma

Van-e olyan paralelogramma, melynek két különböző szögének aránya egyenlő két különböző oldalának arányával?

???

Megoldás:

Bármely a és b oldal esetére van olyan paralelogramma, amely megfelel a feltételeknek. , .

2. probléma:

Van-e olyan háromszög, mely két szögének aránya egyenlő két oldalának arányával? Tekintettel arra, hogy a szövegben nem szerepel, hogy melyik szögekről van szó, két lényegesen különböző esetet kell vizsgálni. A szokásos jelölésekkel: a) b)

a.)

A szinusztétell szerint a egyenletet kell megoldani a -n az feltétel mellett. A fenti aplettből látszik, hogy a keresett megoldások . (Valószínűleg az egyenletnek nincs algebrai megoldási módszere, a GeoGebra bizonyára numerikus módszerekkel számolt.)

b.)

A szinusztétell szerint a egyenletet kell megoldani a -n az feltétel mellett. A fenti aplettből látszik, hogy bármely -hoz egyetlen tejesíti a feltételeket (vélhetőleg ennek az egyenletnek sincs algebrai megoldási módszere, a GeoGebra bizonyára numerikus módszerekkel számolt.)

3. probléma

Van-e olyan szimmetrikus trapéz, melynek két szögének aránya az alapok arányával egyenlő?

???

Az applet szerint minden 0 < c < a esetén van ilyen trapéz. Tekintettel arra, hogy a trapéz egy szárán fekvő szögek összege egyenesszög, a szögek: , .

4. probléma

 Van-e olyan trapéz, amelyek oldalainak aránya egyenlő a szögeik arányával?  Megoldás: Az 1. problémában láttuk, hogy ilyen paralelogramma létezik. Ebből következően a nem paralelogramma trapézokat kell vizsgálni. A trapéz szárain levő szögek összege egyenesszög, akkor annak, hogy az oldalak aránya egyenlő legyen a szögek arányával, szükséges feltétele, hogy a trapéz két-két oldalának összege egyenlő legyen. Két eset lehetséges: a) A trapéz szárainak összege egyenlő az alapok összegével. b) Az egyik alap és az egyik szár összege egyenlő a másik alap és a másik szár ősszegével.

a.) Keressünk egy ilyen trapézt!

d(a) függvény

A fenti grafikon a GeoGebra CAS (komputeralgebrai rendszer) alkalmazásával készült. Az ABD és a BCD háromszögekben alkalmazott koszinusztétel segítségével adja az d(a) függvényt (piros színű grafikon). A feltételek:

b.)

A fenti applet alapján bizonyíthatjuk, hogy, ha egy trapéz egyik alapjának és egy szárának összege egyenlő a másik alapjának ée szárának összegével, akkor az paralelogramma.

5. probléma

Van-e olyan deltoid, amely két oldalának aránya egyenlő lét szögének arányával? Tekintsük a következő ábrát!
Image
Két eset lehetséges: a.) b.) aaa

a.)

Ezt az egyenletet kell megoldani a -n.

A CAS-szal kapott ábra

Úgy tűnik, hogy csak az megoldás, tehát a négyszög rombusz.

b.)

A megoldást a -n keressük.

A GeoGebra CAS ezt adja:

További kérdés

Van-e olyan egyéb négyszög, amely oldalainak aránya egyenlő a szögeinek arányával?

Játsszunk egy kicsit!

A csúszkák mozgatásával érjük el, hogy a D és T pontok egybe essenek!