Apollonios' Problem - hyperbolisch 1

Vorgelegt sei ein DREIECK in der hyperbolischen Ebene.

Gesucht sind alle hyperbolischen KREISE, welche die DREIECKS-Seiten berühren.

oder

Gesucht werden alle hyperbolische KREISE, die 3 hyperbolische GERADEN berühren.

oder

Gesucht werden alle Kreise, die 3 hyperbolische GERADEN berühren.

Diese drei Fragen sind durchaus verschieden! Ein DREIECK in der hyperbolischen Ebene besteht aus 3 PUNKTEN und den 3 hyperbolischen GERADEN durch die 3 PUNKTE. PUNKTE der hyperbolischen Ebene sind im oben angezeigten POINCARÉschen Kreisscheiben-Modell alle Punkte im Inneren des "absoluten" Kreises. GERADEN sind die im Inneren verlaufenden Kreissegmente von Kreisen, die orthogonal zum absoluten Kreis liegen. Ein hyperbolischer KREIS ist der Ort aller PUNKTE, die von einem PUNKT (MITTELPUNKT) denselben hyperbolischen Abstand besitzen (siehe die Seite zuvor!). In der hyperbolischen Ebene findet man leicht 3 GERADEN, die sich nicht schneiden, die aber dennoch gemeinsame Berührkreise, ja sogar hyperbolische BerührKREISE besitzen. In der euklidischen Ebene sind 3 verschiedenen Geraden ohne Schnittpunkte parallel. Man sieht leicht, dass sie keine gemeinsamen Berührkreise besitzen können. Betrachtet man allerdings die Parallelen mittels der stereographischen Projektion als Kreise auf der Kugel, so erweist sich der Punktkreis

als Berührkreis! Das Problem des APOLLONIOS hat also in diesem Fall nur eine Lösung! In einem hyperbolischen DREIECK schneiden sich die WINKELHALBIERENDEN der Innenwinkel in einem PUNKT W. Die hyperbolischen Spiegelungen an den WINKELHALBIERENDEN vertauschen die DREIECKSSEITEN. Der KREIS mit MITTELPUNKT W, der eine der DREIECKSSEITEN berührt, berührt auch die anderen DREIECKSSEITEN. Die Berührpunkte findet man, indem man die LOTE von W auf die DREIECKSEITEN fällt! Falls sich, wie in obigen Applet beim Start, auch die WINKELHALBIERENDEN der Außenwinkel jeweils in einem PUNKT schneiden, so besitzt das DREIECK auch bis zu 3 berührende AnKREISE wie ein euklidisches Dreieck. Aber auch dann, wenn die WINKELHALBIERENDEN der Außenwinkel sich nicht schneiden, gibt es berührende Kreise! Welche geometrische Bedeutung besitzen diese Kreise in der hyperbolischen Geometrie? Ein solcher Kreis K_b schneidet den absoluten Kreis in 2 Punkten. Durch diese Punkte geht auch eine hyperbolische GERADE g. Die Punkte auf K_b besitzen von g einen konstanten hyperbolischen Abstand: es handelt sich also um Abstandslinien. Die Antwort auf die 3. Frage ist am kompliziertesten. Die GERADEN können sich teilweise nicht oder alle nicht schneiden. Sie besitzen jedoch MittelGERADEN, das sind hyperbolische GERADEN, bezüglich derer die vorgegebenen GERADEN symmetrisch liegen. Diese MittelGERADEN können sich schneiden oder nicht. Entsprechend wie im vorangegangenen Fall gibt es dann BerührKREISE oder berührende Kreise oder keine berührenden Kreise. Dies kann man im obigen Applet erkunden: die hyperbolischen GERADEN a, b, c können über ihre Randpunkte auf dem absoluten Kreis bewegt werden.

Diese Seite ist eine Aktivität des geogebra-books kugel-dreiecke (August 2018)

Bemerkung: Die Pole von drei Kreisen auf der Kugel liegen in einer Ebene.

Schneidet diese Ebene die Kugel in einem Kreis, so liegt der obige hyperbolische Fall vor: 3 Kreise, die orthogonal zu einem "absoluten" Kreis liegen.
Berührt diese Ebene die Kugel, und wählt man den Berührpunkt als , so ergibt sich durch stereographische Projektion die euklidische Aufgabe: bestimme zu 3 Geraden alle Berührkreise: siehe Euklidischer Fall.
Liegt diese Ebene außerhalb der Kugel, so sind die 3 Kreise GERADEN einer elliptischen Ebene. Diese schneiden sich stets. Bilden die 3 GERADEN ein Dreieck, so schneiden die WINKELHALBIERENDEN sich in 4 PUNKTEN, die die MITTELPUNKTE von 4 elliptischen BerührKREISEN sind. Insgesamt werden die 3 GERADEN, also die Großkreise auf der Kugel von 8 Kreisen berührt: siehe Elliptischer Fall. Ausnahme: Die 3 GERADEN gehen durch einen gemeinsamen PUNKT: die zugehörigen Kreise auf der Kugel schneiden sich in 2 diametralen Punkten der Kugel. Diese sind, als Punkt-Kreise betrachtet, die 2 einzigen Berührkreise.

siehe auch: Das Problem des Apollonios, Lösung mit geogebra-Werkzeugen

Apollonios' Problem - hyperbolisch 1

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