FUNCIÓN EXPONENCIAL
ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA
Recordemos el concepto de exponente.
Cuando se eleva una cantidad numérica a un cierto exponente (también llamado potencia), significa que esa cantidad se multiplicará por sí misma la cantidad de veces indicada por la potencia o exponente.
En álgebra, las variables también pueden potenciarse pero, al no tener un valor definido, sólo se puede conceptualizar de la siguiente forma:
Para efectuar operaciones matemáticas que involucren potencias, es necesario tener presentes y echar mano de las leyes y propiedades de los exponentes que, a saber, son las siguientes 8:
1) 5)
2) 6)
3) 7)
4) 8)
Pero, ¿Qué sucede cuando el exponente es una función de x? Bueno, en el siguiente apartado se estudiará a profundidad las funciones exponenciales, que son precisamente las funciones que tienen como exponente a una función f(x)
MODELO ALGEBRAICO
Cuando decimos que algo crece (o decrece) de manera exponencial, nos referimos a que crece (o decrece) cada vez más rápido.
Una función exponencial tiene las siguiente forma básica:
en donde:
a es un número positivo conocido, mayor que 0 y diferente de 1. Para el caso de tener se debe
entender como
En otras palabras, { de tal manera que }
x es la variable independiente y su dominio es { }. Es decir, puede tomar cualquier valor real.
El rango de la función es { de tal manera que }, es decir que el resultado es mayor que 0 y hasta
Ahora, la razón por la que a no puede ser cero, es porque 0 elevado a cualquier potencia, sigue siendo 0
Lo mismo sucede cuando a es igual a 1. No importa el exponente, 1 elevado a cualquier potencia, sigue siendo 1.
Ésta función tiene las siguientes características:
1) cuando se tiene por lo que, sin excepciones, siempre en una función exponencial,
2) cuando se tiene por lo que, sin excepciones, siempre en una función exponencial,
MODELO GRÁFICO
La gráfica de la función exponencial muestra un ascenso cada vez más pronunciado y abrupto conforme aumenta el valor de la variable independiente, como puede apreciarse en la siguiente ilustración.
Puedes modificar el valor de a moviendo el deslizador para apreciar cómo se comporta la gráfica.
Función exponencial
Datos interesantes:
En la gráfica puedes notar que:
I) La gráfica no está definida para valores negativos de a ( a<0 )
II) Cuando a está entre 0 y 1 ( 0<a< 1 ), la función es decreciente o descendente.
III) Cuando a es mayor que 1 ( a>1 ), la función es creciente o ascendente.
IV) La gráfica de la función SIEMPRE pasa por la coordenada (0,1). En la gráfica lo denotamos como punto A.
V) La gráfica de la función SIEMPRE pasa por la coordenada (1,a). En la gráfica lo denotamos como punto B.
VI) La gráfica tiende rápidamente al , si a>1
VII) La gráfica tiende a descender rápidamente desde el hacia 0, si 0<a<1, pero nunca toca el cero.
VIII) De lo anterior, se deduce que existe una asíntota horizontal en y=0
USOS PRÁCTICOS
Ahora, en la práctica, ésta función nos permite predecir el comportamiento de variables en las que una se incrementa (o disminuye) notablemente con respecto de la otra. A esto se le llama crecimiento exponencial y ,en general, se usa para estimar crecimientos (o decrementos) a futuro para tomar decisiones relacionadas a ésa variable a medir en específico.
La fórmula de aplicación para crecimientos o decrementos exponenciales está dada por:
donde
es la cantidad final.
es la cantidad inicial.
es la medida de crecimiento, en términos absolutos (doble, triple, mitad, tres décimos, etc).
es el factor de crecimiento específico para el fenómeno en estudio.
es el tiempo en el que se desea calcular la cantidad esperada.
EJEMPLO 1:
Un biólogo estudia el crecimiento poblacional de abejas en una colmena de colonización reciente. El primer día hace un conteo de 320 abejas. Tres días después encuentra que la población se duplicó. Calcular la cantidad esperada de abejas a los diez días del conteo inicial.
abejas.
es decir, la población se duplicó.
Factor de crecimiento esperado: creció en 3 días.
Tiempo en que se desea estimar la población que existirá.
Entonces, la ecuación quedará:
abejas esperadas 10 días después del primer conteo.
Es importante notar que, en el caso de poblaciones, la cantidad se debe redondear porque no se pueden tener fracciones de abejas. O se tiene completa o no se tiene. No se pueden tener 3225.39 abejas.
La gráfica que muestra el crecimiento poblacional de la colmena en estudio es la siguiente, con la cantidad de días en el eje de las abscisas (eje x) y la población de abejas en la colmena en el eje de las ordenadas (eje y):
EJEMPLO 2:
Una inversión bancaria duplica la cantidad invertida en un plazo de 13 años. Si inicialmente se invierten $10,530.00, ¿Qué cantidad de dinero se esperaría tener a los 4 años después de realizada la inversión?
Inversión inicial
se duplica la inversión
Factor en que se obtiene fc, es decir, se duplica en 13 años
Tiempo en que se desea calcular la cantidad esperada.
Cantidad de dinero que se esperaría tener al cabo de 4 años. Nótese que en éste caso sí se cuentan los centavos.
A continuación, la gráfica que representa el crecimiento de la inversión:
SOLO PARA PRACTICAR
Los siguientes ejemplos son para que tú lo practiques:
Un estudio poblacional de la vaquita marina refleja que en 1997 había unos 567 individuos, mientras que en 2015 se contaron solamente 60 individuos. Esto significa apenas 0.1058 de los que había en 1997 (SEMARNAT. sf. Recuperado de https://apps1.semarnat.gob.mx:8443/dgeia/informe15/tema/recuadros/recuadro4_2.html).
Con base en los datos anteriores, calcula la cantidad de vaquitas marinas que se espera tener para el año 2030 y grafica en un plano cartesiano.
RESPUESTA:
vaquitas marinas de población total.
El valor de una casa en la Ciudad de Querétaro crece de manera exponencial de la siguiente manera: En septiembre de 2017, el metro cuadrado de un departamento se vendía en $16.56. Pero 9 meses después, en junio de 2018, ya se vendía en $20.46 el metro cuadrado (Violeta Rodríguez en AM Querétaro. Septiembre 2018. Recuperado de https://amqueretaro.com/queretaro/2018/09/19/aumentan-precios-de-vivienda-en-queretaro/). Esto representa 1.24 veces más que en septiembre de 2017. ¿Qué precio se esperaría que tenga el metro cuadrado en diciembre de 2020?
RESPUESTA:
pesos por metro cuadrado.