Modelado de Funciones Sinusoidales con Desfase - Problemas Verbales de Ballet
1: Formulación de Modelos con Desplazamiento
* El efecto dominó de las Willis: En el segundo acto de Giselle, una fila de bailarinas, conocidas como las Willis, debe ejecutar un port de bras sincronizado. La primera bailarina en la fila (Líder) comienza el movimiento en t=0 segundos, y la posición vertical de sus brazos se modela mediante la función y = sin(t). La coreógrafa instruye que la cuarta bailarina debe realizar exactamente el mismo movimiento, pero con un retraso de π efecto visual de ola. Escriba la ecuación sinusoidal que modela el movimiento de los brazos de la cuarta bailarina.
* La respiración en el Adagio: Un bailarín principal (Bailarín A) tiene un ciclo de respiración visible que sigue la función y = 2 cos(πt/2), donde t es el tiempo en segundos. Su compañera (Bailarina B) entra a escena con el mismo ritmo respiratorio (mismo periodo y amplitud), pero su ciclo de inhalación máxima ocurre exactamente 1 segundo después que el del Bailarín A. Determine la ecuación de la respiración de la Bailarina B utilizando un desplazamiento de fase hacia la derecha.
*.Entrada tardía en el Allegro: Un grupo de estudiantes (Grupo A) realiza saltos sautés cuya altura h en función del tiempo t se modela como h(t) = 50*sin(4t). Un segundo grupo (Grupo B) debe realizar la misma secuencia de saltos, pero tiene instrucciones de esperar 1.5 segundos después de que comience la música (t=0) antes de iniciar su primer salto. Modele la altura del Grupo B, h_B(t), asumiendo que su movimiento es idéntico al del Grupo A pero desplazado horizontalmente.
* La oscilación de la falda romántica: Al realizar giros sostenidos, el borde de un tutú romántico sube y baja debido a la fuerza centrífuga. Si el movimiento angular de la cadera de la bailarina sigue la función y = sin(2t), y el movimiento de la tela del vestido sigue el mismo patrón ondulatorio pero con un retraso de fase ("lag") causado por la inercia de π/4 radianes, escriba la función que describe la altura del borde de la falda en relación con el tiempo.
* Grabación de video con latencia: Un profesor de ballet imparte una clase virtual y realiza un grand battement en t=0 que sigue la función y = 90*sin(πt) grados. Debido a la latencia de internet, el estudiante en casa ve el movimiento y lo ejecuta con 1.2 segundos de retraso respecto al tiempo real del profesor. Escriba la ecuación y_{estudiante}(t) que describiría el movimiento del estudiante si ambos fueran grabados simultáneamente en la misma habitación.
2: Análisis de Sistemas y Secuencias
* El canon de los Petits Battements: Tres bailarinas están alineadas diagonalmente. La primera realiza petits battements modelados por y_1 = 20*sin(4t). La segunda bailarina debe entrar cuando la primera completa un cuarto de su ciclo (T/4), y la tercera bailarina debe entrar cuando la segunda completa un cuarto de su propio ciclo. Determine las ecuaciones y_2(t) y y_3(t) y calcule el desplazamiento de fase total de la tercera bailarina respecto a la primera.
* El eco visual en El Lago de los Cisnes: Cuatro cisnes cruzan el escenario enlazados. El primer cisne inclina su torso siguiendo la función f(t) = 15*cos(2t). Cada cisne subsiguiente debe replicar el movimiento exacto con un retraso de 0.5 segundos respecto al cisne que tiene delante. Escriba la función que rige el movimiento del cuarto cisne y determine en qué momento t el cuarto cisne alcanza su primera inclinación máxima.
* Contrapunto coreográfico: En una pieza contemporánea, el Bailarín Masculino sigue la trayectoria de movimiento y_m = 2*sin(3t). La Bailarina Femenina debe realizar el mismo movimiento pero en "contrapunto", de tal manera que cuando él alcanza su altura máxima, ella esté cruzando el punto de equilibrio hacia abajo. Encuentre el cambio de fase φ necesario en la ecuación y_f = 2*sin(3(t - φ)) para lograr esta relación.
* La persecución en el escenario: Un bailarín persigue a una bailarina realizando grand jetés. La trayectoria vertical de la bailarina es y_b = sin(t). Para mantener la estética y la seguridad, el bailarín debe saltar de modo que su fase esté desplazada por medio periodo (T/2) respecto a ella, asegurando que nunca estén en el punto máximo de altura al mismo tiempo. Escriba la ecuación del bailarín y demuestre gráficamente que esto equivale a una reflexión sobre el eje x.
* El "Péndulo" de dos cuerpos: Dos bailarines se toman de las manos para simular un péndulo doble. El Bailarín 1 se mueve según y_1 = sin(t). El coreógrafo exige que el Bailarín 2 se mueva con un desfase de π radianes (movimiento opuesto). Escriba la ecuación para el Bailarín 2 y explique qué sucede con la suma de sus movimientos (y_1 + y_2) en cualquier instante t.
3: Corrección de Errores y Diagnóstico
* El Grand Plié anticipado: La partitura musical dicta que el punto más bajo de un grand plié (mínimo de la función coseno negativa) debe ocurrir exactamente en el segundo t=3. Una estudiante, anticipándose a la música, alcanza su punto más bajo en t=2.5. Si el movimiento se modela como una onda cosenoidal con periodo de 6 segundos, calcule el desplazamiento de fase (en segundos y radianes) del error de la estudiante.
* El levantamiento (Lift) fuera de tiempo: Un bailarín debe levantar a su pareja coincidiendo con el clímax musical en t=4. La trayectoria ideal es h(t) = 2*sin(πt/8). Debido a la fatiga, el bailarín retrasa su ejecución y alcanza la altura máxima en t=4.5. Modele la trayectoria real del levantamiento y determine la ecuación del desfase.
* Sincronización con un metrónomo visual: En un ensayo técnico, una luz parpadeante sigue la función L(t) = cos(πt). La Prima Ballerina tiene dificultades para seguir la luz y sus movimientos ocurren consistentemente 0.2 segundos antes de la señal luminosa. Escriba la ecuación del movimiento de la bailarina, B(t), aplicando el desplazamiento horizontal correspondiente para representar esta anticipación.
* Ajuste del Developpé a las 12 en punto::El movimiento ideal de un developpé se modela como una función seno y = sin(t), comenzando en y=0 y subiendo. Una estudiante ejecuta el movimiento comenzando con la pierna ya en su altura máxima (y=1), lo cual corresponde a una función coseno. Reescriba la función de la estudiante y = cos(t) como una función seno con desplazamiento horizontal (y = sin(t - C)) para demostrar cuánto está desfasada respecto al movimiento ideal.
* El balanceo en el Promenade: Un bailarín intenta mantener un arabesque estático (y=0), pero su pierna de soporte comienza a oscilar por inestabilidad. La oscilación sigue una forma senoidal y = 0.1*sin(5(t - C)). Si se observa que la inestabilidad (el inicio del ciclo de oscilación) comienza 0.8 segundos después de iniciar el giro, escriba la ecuación completa que modela esta perturbación.
4: Interacción con el Entorno
* El columpio de la escenografía: Una bailarina se balancea en un trapecio escenográfico. Su distancia horizontal desde el centro del escenario se modela como x(t) = 4*cos(0.5t). Sin embargo, al abrirse el telón en t=0, ella ya se encuentra desplazada a la posición x = 2 metros y moviéndose hacia la izquierda. Determine el desplazamiento de fase C necesario en la ecuación x(t) = 4*cos(0.5(t - C)) para que coincida con estas condiciones iniciales.
* Iluminación automatizada vs. Bailarín: Un foco robótico se mueve de izquierda a derecha siguiendo x_{luz}(t) = 10*sin(0.2t). El bailarín debe permanecer dentro del foco, pero entra al escenario 5 segundos tarde. Si el bailarín debe seguir la misma trayectoria espacial que la luz, ¿cuál debe ser la ecuación de su movimiento x_{bailarin}(t) para intentar sincronizarse, y es posible "alcanzar" la luz sin cambiar la frecuencia?
* Proyecciones de fondo rotativas: Un fondo digital muestra una onda descrita por yfondo = sin(t - π/3). La coreografía exige que los bailarines salten de manera que alcancen su altura máxima exactamente cuando la onda de fondo esté en su punto mínimo (interferencia visual destructiva). Determine la ecuación de salto de los bailarines ysalto = sin(t - φ) que cumpla con esta condición.
* Rond de Jambe y la proyección de sombras: Una bailarina realiza un rond de jambe (círculo de la pierna). Una luz lateral proyecta la sombra de su pierna en la pared, creando un movimiento armónico simple. Si la posición "cero" (al lado) corresponde a sin(t), pero la bailarina comienza el movimiento con la pierna atrás (90° o π/2 de desfase mecánico), escriba la ecuación de la posición de la sombra asumiendo que el inicio "atrás" representa un cambio de fase de -π/2.
5: Modelos con Desfase (Traslación)
* Fouetté Turns (Distancia al espejo): Durante una serie de fouettés, la punta del pie de la bailarina se aleja y se acerca al espejo frontal. La distancia máxima es de 1.5 metros y la distancia mínima es de 0.5 metros. La bailarina completa un giro cada 0.8 segundos. Suponiendo que a los 0.2 segundos de iniciar el cronómetro el pie alcanza su distancia máxima, determine la función que modela esta oscilación.
* Presión en las Puntas: Al realizar échappés, la presión sobre la plataforma de la zapatilla de punta varía periódicamente. El promedio de presión es de 60 kg/cm², fluctuando 25 kg/cm² por encima y por abajo de este valor. Si el desfase de la función es de 0.5 unidades y el periodo es de 2 segundos, escriba la función que modele la presión P(t).
* El Volumen de la Orquesta: Durante un ensayo con orquesta en vivo, el volumen del sonido medido en decibeles fluctúa siguiendo la partitura. El volumen promedio es de 75 dB, con picos que llegan a 95 dB y valles de 55 dB. El tema principal se repite cada 60 segundos. Si en t = 10 segundos ocurre el primer pico de volumen máximo, escriba la función del nivel de sonido.