Kružnice čtverci vepsaná a opsaná
- Autor:
- Šárka Voráčová
Kružnice opsanou i vepsanou můžeme zkoumat u všech mnohoúhelníků. Kružnice vepsaná se dotýká všech stran mnohoúhelníku. To znamená, že každá strana mnohoúhelníku musí být tečnou kružnice vepsané. Na kružnici opsané leží všechny vrcholy mnohoúhelníku. Zatímco každému trojúhelníku můžeme vždy kružnici vepsat i opsat, pro obecné čtyřuhelníky většinou kružnice takových vlastností neexistují.
Čtverec je krásný, symetrický útvar a i díky této symetrii má kružnice opsané i vepsané. Středy těchto kružnic jsou ve středu čtverce. Dopře si prohlédněte animaci a promyslete, jak určíte poloměry kružnice vepsané a kružnice opsané. Pokuste se nastavit hodnotu posuvníku r právě pro hodnotu vepsané kružnice. Jaké má tečna kružnice vlastnosti?
Zvětšete applet na celou obrazovku. Nezdá se vám, že jsou strany čtverce pod tíhou množiny soustředných kružnic trochu prohnuté? Pokuste se zobrazit tak, aby byla Ehrensteinova iluze co možná nejnápadnější. Obrázek vytiskněte a ověřte pravítkem přímost stran.
Úloha 1: Kružnice soustředné se čtvercem - Ehrensteinova iluze
Otázka 1
Tečna kružnice je přímka, která
Otázka 2
Do čtverce s délkou strany a vepíšeme kružnici. Pro poloměr r kružnice vepsané platí:
Úloha 2: Sestrojte kružnici k se středem S a poloměrem r. Nakreslete alespoň deset tečen kružnice k.
Nejprve se pokuste o konstrukci sami. Pokud se vám nepodaří najít správný nástroj, nahlédněte do návodu pod appletem. Své řešení porovnejte s naším (zaškrtněte políčko "?")
Návod:
1. Poloměr kružnice je proměnná zadána posuvníkem 
. Když posuvníkem změníme hodnotu r, musí se změnit i velikost nakreslené kružnice. Použijte nástroj kružnice daná středem a poloměrem 
. Poloměr zadejte jménem proměnné - r. Zkontrolujte, zda propojení hodnoty posuvníku r s poloměrem kružnice pracuje správně.
2. Zvolíme dynamický bod na objektu
. Po kliknutí na kružnici sestrojíme bod, který se sice může pohybovat, ale jen po obvodu kružnice. To je zdůrazněno světle modrou barvou bodu.
3. Tečna kružnice je kolmá k průměru kružnice. Nejprve sestrojíme přímku ST 
a poté vedeme bodem T kolmici 
k přímce ST.
. Když posuvníkem změníme hodnotu r, musí se změnit i velikost nakreslené kružnice. Použijte nástroj kružnice daná středem a poloměrem . Poloměr zadejte jménem proměnné - r. Zkontrolujte, zda propojení hodnoty posuvníku r s poloměrem kružnice pracuje správně.
2. Zvolíme dynamický bod na objektu. Po kliknutí na kružnici sestrojíme bod, který se sice může pohybovat, ale jen po obvodu kružnice. To je zdůrazněno světle modrou barvou bodu.
3. Tečna kružnice je kolmá k průměru kružnice. Nejprve sestrojíme přímku ST a poté vedeme bodem T kolmici k přímce ST.
Úloha 3: Sestrojte čtverec, jsou-li dány střed S a délka strany a.
Návod:
Úloha není zadána jednoznačně. Velikost čtverce je dána, ale jeho natočení můžeme zvolit libovolně. Všechna řešení budou mít ale stejnou vepsanou kružnici.
1. Kružnice vepsaná čtverci je dána středem S a poloměrem r = a/2, proto použijeme nástroj .
2. Příkazem zvolíme bod T na kružnici.
3. Průměr kružnice ST - nástroj přímka.
4. Průsečík 
kružnice a přímky ST
5. Protilehlé strany čtverce jsou tečny kružnice vepsaná, sestrojíme je jako kolmice k průměru ST.
6., 7. Stejnou konstrukcí zbývající dvě tečny.
8. Průsečíky 
vzájemně kolmých tečen jsou vrcholy čtrverce.
9. Kontrola řešení při všech hodnotách posuvníku a. Pohybem bodu dotyku T po kružnici zobrazíte všechna řešení.
.
2. Příkazem zvolíme bod T na kružnici.
3. Průměr kružnice ST - nástroj přímka.
4. Průsečík kružnice a přímky ST
5. Protilehlé strany čtverce jsou tečny kružnice vepsaná, sestrojíme je jako kolmice k průměru ST.
6., 7. Stejnou konstrukcí zbývající dvě tečny.
8. Průsečíky vzájemně kolmých tečen jsou vrcholy čtrverce.
9. Kontrola řešení při všech hodnotách posuvníku a. Pohybem bodu dotyku T po kružnici zobrazíte všechna řešení.