The Maps Problem and the Fixed Point Theorem
English
Putting up two overlapped brazilian maps with different scales, so that the smaller is entirely contained on the bigger (in any position), could we find somewhere that coincide with itself in both maps?
The main goal of this work is to promote a proposal that can be applied at different levels and allowing the approach since of homothety`s concepts to the matrix equations resolutions or the Fixed Point Theorem and that values the student participation and effective comprehension of the content involved. Beyond that, although all procedures performed here could be made by free hand, the idea is to try show to the user as dynamic geometry may favor in this sense, since it clear, for example, the movements in the plan associated with their respective algebraic transformation.
Português
Colocando-se dois mapas do Brasil, com diferentes escalas, sobrepostos de modo que o menor deles esteja inteiramente contido no maior (em qualquer posição), podemos encontrar algum ponto que coincida com ele próprio em ambos mapas?
O objetivo deste trabalho é divulgar uma proposta que possa ser aplicada em diferentes níveis e que permite a abordagem de conceitos de homotetia a equações matriciais e que valoriza a participação do aluno, bem como a compreensão efetiva dos conteúdos envolvidos. Além disso, embora todos procedimentos pudessem ser feitos à mão livre, a ideia é tentar mostrar para o usuário como a geometria dinâmica pode favorecer neste sentido, uma vez que torna mais claro, por exemplo, as transformações no plano associadas às suas respectivas representações algébricas.
English
Note that nothing is said about the relative positions between the maps, besides the condition of the small one is entirely contained on the big one, that means, the orange map could be rotated relative to the first. Another important fact to note is the order in which the elements of the problem are presented: First adjust the maps according to the given conditions and then analyses whether such a point exists. In recent experiments with teachers and pre-service teachers, when asked, many reversed hypothesis and thesis, as set a common point to maps, then adjust both in positions that preserve the choice made. In this case, they used to support two princes maps with different scales and a pin.
Português
Repare que nada é dito sobre as posições relativas entre os mapas, além da hipótese de estar um inteiramente contido sobre o outro, ou seja, eventualmente, o segundo poderia estar rotacionado em relação ao primeiro. Outro fato importante a observar é a ordem em que são apresentadas os elementos do problema: primeiro ajustar os mapas segundo as condições dadas e depois avaliar se tal ponto existe. Em recentes experiências com professores e futuros professores, quando questionados, muitos inverteram hipótese e tese, pois fixaram um ponto comum aos mapas, para depois ajustarem ambos em posições que preservassem a escolha feita. Nesse caso, usaram como apoio dois mapas de escalas distintas impressos e um alfinete.