Kreis-Fragen - questions about circles

Thema:
Kreis

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebrabooks Möbius-Werkzeuge circle tools (November 2018)

Zwei Kreise erzeugen ein (lineares) Kreisbüschel:
  • parabolisches Kreisbüschel (parabolic pencil of circles): erzeugt von 2 Kreisen, die sich in einem Punkt berühren. Die orthogonalen Kreise dazu bilden ebenfalls ein parabolisches Kreisbüschel (polares Kreisbüschel); sie berühren sich in demselben Berührpunkt. Wir nennen 2 sich berührende Kreise parabolisch - 2 tangent circles = "parabolic" circles.
  • hyperbolisches Kreisbüschel (hyperbolic pencil of circles): erzeugt von 2 Kreisen, die sich in 2 Punkten, den Grundpunkten des Büschels, schneiden. Wir nennen 2 sich schneidende Kreise hyperbolisch - 2 circles with 2 common points = "hyperbolic" circles. Die orthogonalen Kreise dazu bilden ein ...
  • elliptisches Kreisbüschel (elliptic pencil of circles): erzeugt von 2 Kreise, die sich nicht schneiden. Die orthogonalen Kreise dazu schneiden sich in 2 Punkten und bilden das polare hyperbolische Kreisbüschel. Die Grundpunkte des hyperbolischen Büschels sind die Punktkreise des elliptischen Büschels. Wir nennen 2 sich nicht schneidende Kreise elliptisch - 2 circles without common points = "elliptic" circles.
Fragen und Antworten: Wie überdecken die Kreise eines Kreisbüschels die Ebene?
  • Gegeben sind ein Kreisbüschel und ein von den Grundpunkten oder dem Berührpunkt verschiedener Punkt. Dieser Punkt liegt auf genau einem Kreis des Kreisbüschels und auf genau einem Kreis des polaren Kreisbüschels.
Welche Symmetrieen gibt es zu zwei Kreisen?
  • Zwei sich berührende Kreise (2 parabolic circles) besitzen genau einen Symmetriekreis: gespiegelt an diesem werden die beiden vorgegebenen Kreise vertauscht. Der Symmetriekreis liegt in dem von den beiden vorgegebenen Kreisen erzeugten parabolischen Kreisbüschel. Die Spiegelungen an den Kreisen des polaren parabolischen Kreisbüschels lassen die beiden vorgegebenen Kreise invariant.
  • Zwei sich schneidende Kreise (2 hyperbolic circles) besitzen 2 Symmetriekreise: gespiegelt an diesen werden die beiden vorgegebenen Kreise vetauscht. Die beiden Symmetriekreise sind die Winkelhalbierenden der beiden vorgegebenen Kreise. Sie sind orthogonal und liegen in demselben hyperbolischen Kreisbüschel. Die Spiegelungen an den Kreisen des polaren elliptischen Büschels lassen die beiden vorgegebenen Kreise invariant.
  • Zwei sich n i c h t schneidende Kreise (2 elliptic circles) besitzen genau 1 Symmetriekreis: gespiegelt an diesem werden die beiden vorgegebenen Kreise vertauscht. Der Symmetriekreis liegt in dem von den beiden vorgegebenen Kreisen erzeugten elliptischen Kreisbüschels. Die Spiegelungen an den Kreisen des polaren hyperbolischen Kreisbüschels lassen die beiden vorgegebenen Kreise invariant. Es gibt noch eine weitere Spiegelung, welche die beiden vorgegebenen Kreise vertauscht. Der zugehörige Kreis ist allerdings imaginär.
Warum werden diese Kreisbüschel linear genannt? Betrachtet man mit Hilfe der stereographischen Projektion die Kreise auf der RIEMANNschen Zahlenkugel, so stellt man fest, dass die Bilder der Kreise übereinstimmen mit den Schnitten der Kugel mit Ebenen. Die Kreise eines Kreisbüschels lassen sich nun auf zwei Weisen charakterisieren: Die Pole der Kreisebenen eines Kreisbüschels liegen auf einer Geraden, welche die Kugel berührt (parabolisch) oder in 2 Punkten schneidet (elliptisch) oder nicht schneidet (hyperbolisch). Die Kreisebenen eines Kreisbüschels gehen durch eine Gerade, welche die Kugel berührt (parabolisch) oder schneidet (hyperbolisch) oder nicht schneidet (elliptisch).