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Intersección de dos esferas

Autor:Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Mecanismos. Los grados de libertad de una configuración puede variar en casos particulares. Veamos un ejemplo sencillo. Sean 4 puntos C, D, E y F que distan una unidad de dos puntos A y B. Supondremos que el punto A se mantiene fijo en el origen de coordenadas, mientras el punto B puede deslizarse a lo largo del eje Z [para simplificar, entre (0,0,0) y (0,0,2)]:
  • Cx2 + Cy2 + Cz2 = 1
  • Dx2 + Dy2 + Dz2 = 1
  • Ex2 + Ey2 + Ez2 = 1
  • Fx2 + Fy2 + Fz2 = 1
  • Cx2 + Cy2 + (Cz - Bz)2 = 1
  • Dx2 + Dy2 + (Dz - Bz)2 = 1
  • Ex2 + Ey2 + (Ez - Bz)2 = 1
  • Fx2 + Fy2 + (Fz - Bz)2 = 1
Construimos las esferas de centros A y B y radio 1. Su intersección será, en general, una circunferencia c, de radio variable según la posición de B. En ella colocamos los cuatro puntos, C, D, E y F. La configuración así obtenida tiene (recordemos que suponemos A fijo), en general, 5 grados de libertad (necesarios para determinar la posición de cada punto B, C, D, E y F). Observemos que el sistema anterior tiene 8 ecuaciones y 13 incógnitas. Pero si posicionamos B en dos puntos particulares, esto puede cambiar. Si fijamos B = (0,0,2), los grados de libertad se reducen a 0, ya que los cuatro puntos C, D, E y F se ven forzados a ocupar la posición (0,0,1), la única solución del anterior sistema de ecuaciones (debido a que una ecuación del tipo x2 + y2 = 0 solo tiene la solución nula, si consideramos x e y como números reales). La configuración se vuelve rígida (en el campo de los números reales). [Otro tanto pasaría en (0,0,-2).] En cambio, si fijamos B = (0,0,0) la posición de B coincide con la de A, con lo que los puntos C, D, E y F tienen libertad para moverse en la esfera de centro A y radio 1. En total, 8 grados de libertad. Observemos que las cuatro últimas ecuaciones del sistema anterior coinciden con las cuatro primeras, por lo que no aportan más información. Para resolver lo mejor posible el problema de continuidad de definición de los puntos C, D, E y F, en la construcción, cada vez que hacemos coincidir B con A, los puntos C, D, E y F, trasladan la posición que tenían en c (que queda indeterminada como intersección de dos esferas) al ecuador de la esfera centrada en A. Y viceversa, cada vez que B abandona la posición (0,0,0), cada uno de esos puntos C, D, E y F, hasta ese instante libre en la esfera, proyecta su posición sobre la circunferencia c.
Autores de la construcción GeoGebra: Carlos Ueno y Rafael Losada

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