Quádricas

Clique no botão elipsoide para que esta superfície quádrica seja exibida na janela de visualização 3D. Experimente manipular os controles deslizantes a, b e c de modo que eles assumam valores diferentes. a) O que acontece com o elipsoide quando o controle deslizante a é manipulado? E quando os outros dois são manipulados? b) O que acontece com o elipsoide quando ? c) Há alguma relação entre os valores dos controles deslizantes a, b e c e os eixos do elipsoide? Se sim, qual?

Com o elipsoide selecionado, faça a=5, b=4 e c=3. a) Exiba o plano paralelo a yOz e o resultado do corte do elipsoide por este plano quando |x|<|a|. Que figura é gerada? Faça o mesmo em relação aos outros planos quando |y|<|b| e quando |z|<|c|. Você acha que os resultados justificam o nome desta quádrica? b) Qual o resultado da interseção da quádrica com os planos x=a, y=b e z=c? Substituindo esses valores na equação, o resultado que você obteve faz sentido? c) E quando |z|>|c|, o que ocorre? Esse resultado faz sentido quando você analisa o problema algebricamente?

Nesta questão abordaremos os hiperboloides, os quais são de dois tipos, os de uma folha e os de duas folhas. Clique no botão hiperboloide e selecione a opção 1 folha e depois uma das três opções que serão exibidas. Repita esse procedimento, só que para a opção 2 folhas. a) Observando as superfícies geradas na janela 3D, explique porque os hiperboloides são classificados como de uma ou de duas folhas. b) Você observa alguma relação entre os dois tipos de hiperboloides e os sinais dos termos que aparecem em suas equações? Que relações são essas? c) O hiperboloide de uma folha, em sua forma canônica, não possui interseção com um dos eixos coordenados. É possível determinar qual é esse eixo a partir de sua equação? Como? No caso do hiperboloide de duas folhas temos um eixo que o intersecta em seus vértices. Como determinar qual é esse eixo apenas olhando para a equação associada a ele?

Os paraboloides são classificados em duas categorias: elípticos e hiperbólicos. Manipule a construção e explique: a) Por que tais superfícies são denominadas paraboloides? b) Por que os paraboloide são classificados como elípticos e hiperbólicos? c) Como é possível distinguir um paraboloide elíptico de um hiperbólico através de sua equação?

As equações canônicas das quádricas que exploramos nas questões 1, 2 e 3 possuíam apenas termos quadráticos puros. No caso dos paraboloides, uma das variáveis aparece em um termo linear (ou seja, tem expoente 1). a) O que a variável do termo linear nos indica no caso dos paraboloides elípticos? b) O que o sinal do termo linear nos indica?

Exiba na janela de visualização 3D o paraboloide hiperbólico selecionando a opção eixo z. Com os valores dos controles deslizantes x e y em zero, exiba os planos xOz e yOz. a) O paraboloide exibido apresenta simetria em relação a esses dois planos? b) Qual a interseção entre eles? Essa interseção apresenta alguma relação com o termo linear da equação canônica dessa quádrica? c) Esse paraboloide hiperbólico possui simetria em relação o plano xOy? Explore também esses mesmos aspectos no caso dos outros dois paraboloides hiperbólicos.

Manipulando a construção é possível perceber que os cortes feitos em um hiperboloide geram sempre hipérboles ou elipses (desconsiderando casos específicos, nos quais podem ser obtidas cônicas degeneradas). Por que então, essas superfícies não são denominadas hiperboloides elípticos?

Siga os seguintes passos: 1. Reinicie a construção; 2. Desmarque a opção exibir quádrica; 3. Clique nos botões: hiperboloide >> 2 folhas >> eixo x (nada será exibido, mas faça isso); 4. Mantenha a=1 e faça b=2 e c=0.5; 5. Mova o controle deslizante x para -5; 6. Selecione as opções corte x e rastro x; 7. Arraste lentamente o controle deslizante x de -5 para 5; 8. Movimente a janela de visualização 3D para observar a imagem formada sob diferentes ângulos. Você deve ter observado o surgimento de um hiperboloide de duas folhas a partir de uma família de elipses. Explique porque as elipses começam diminuindo de tamanho no intervalo em que x varia de -5 a -1, viram um ponto quando x=-1, desaparecem no intervalo entre -1 e 1, surgem como um ponto quando x=1 e então começam a aumentar de tamanho no intervalo entre 1 e 5.

Siga os seguintes passos: 1. Reinicie a construção; 2. Desmarque a opção exibir quádrica; 3. Clique nos botões: paraboloide >> hiperbólico >> eixo z (nada será exibido, mas faça isso); 4. Mantenha a=1 e faça b=1.5 e c=5; 5. Mova o controle deslizante z para -5; 6. Selecione as opções corte z e rastro z; 7. Arraste lentamente o controle deslizante z de -5 para 5; 8. Movimente a janela de visualização 3D para observar a imagem formada sob diferentes ângulos. Você deve ter observado o surgimento de um paraboloide hiperbólico a partir de uma família de hipérboles. Explique porque quando z é negativo as hipérboles têm segmento focal paralelo ao eixo y (eixo verde), quando z é positivo este é paralelo ao eixo x (eixo vermelho) e quando z=0 as hipérboles degeneram em duas retas concorrentes.

Siga os seguintes passos: 1. Reinicie a construção; 2. Desmarque a opção exibir quádrica; 3. Clique nos botões: paraboloide >> hiperbólico >> eixo z (nada será exibido, mas faça isso); 4. Mantenha a=1 e faça b=1.5 e c=5; 5. Mova os controles deslizantes x e y para -5; 6. Selecione as opções corte x, rastro x, corte y e rastro y; 7. Arraste lentamente o controle deslizante x de -5 para 5; 8. Arraste lentamente o controle deslizante y de -5 para 5; 10. Movimente a janela de visualização 3D para observar a imagem formada sob diferentes ângulos. Você deve ter observado o surgimento de um paraboloide hiperbólico a partir de duas famílias de parábolas. Explique porque as parábolas geradas pela movimentação do controle deslizante x têm a concavidade voltada para baixo enquanto as parábolas geradas pela movimentação do controle deslizante y têm a concavidade voltada para cima.

As superfícies quádricas podem ser classificadas como cêntricas ou não cêntricas, conforme sejam ou não simétricas em relação a um ponto (que no caso da construção utilizada aqui é a origem). Uma superfície é simétrica em relação a origem se implicar em . Analise os gráficos e as equações das quádricas e indique quais das quádricas abaixo são cêntricas.