Super zoom Julia

Tema:Números Complejos, Construcciones, Fractales, Sucesiones y Series

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Julia y Mandelbrot. Se recomienda descargar el archivo ggb para una mayor agilidad del escáner. Hemos visto que, para un determinado valor de la constante c, el conjunto de Julia asociado a c está formado por todos los valores de partida que generan sucesiones acotadas, da igual si son convergentes o caóticas. Pero en vez de limitarse a valores reales (puntos en el eje X) el auténtico conjunto de Julia considera todos los valores complejos (puntos en el plano XY), pues estos "números complejos" también se pueden sumar y multiplicar.

Nota: aquí consideramos solo los conjuntos de Julia correspondientes a la función f(z) = z² + c, simbolizados como J_c. Estos conjuntos de Julia se pueden generalizar a otras funciones.

Existe una estrecha relación entre el conjunto de Julia asociado a c y el conjunto de Mandelbrot. Resulta que J_c será conexo (es decir una sola región y no varias aisladas) solo cuando c pertenezca al conjunto de Mandelbrot. Para casi todo valor de c, el conjunto de Julia es un fractal. El objeto resultante no es un fractal para c = -2 (es el intervalo [-2, 2]) y c = 0 (es el círculo unidad), aunque no se sabe si estas dos son las únicas excepciones. Si detenemos la sucesión en algún paso (como hace en la aplicación el deslizador de iteraciones), los valores de c pueden generar vistosos conjuntos conocidos como conjuntos de Julia "llenos". El verdadero conjunto de Julia J_c sería la frontera, es decir, el límite del conjunto lleno cuando el número de iteraciones tiende a infinito. En la siguiente tabla puedes ver algunos ejemplos, todos ellos con el centro de la vista gráfica en (0,0) y zoom con factor 5. Puedes ampliar cualquier imagen pulsando sobre ella.

Posición de c	Iteraciones
(0.285, -0.01)	57	Conjunto de Julia lleno. El complejo c no pertenece al conjunto de Mandelbrot, por lo que el conjunto frontera (el verdadero conjunto de Julia) es inconexo.
(0.285, -0.01)	114	Al duplicar el número de iteraciones, el conjunto se va vaciando. Ya es evidente que el conjunto no es conexo.
(0.285, -0.01)	228	Al volver a duplicar el número de iteraciones, vemos que este conjunto de Julia estará formado por un conjunto de puntos aislados.
(-0.8, 0.156)	72	Otro ejemplo de conjunto de Julia lleno. El conjunto de Julia correspondiente a este valor de c, al igual que el anterior, es inconexo, pues este valor no pertenece al conjunto de Mandelbrot.
(0, 1)	89	Este conjunto de Julia lleno se conoce como fractal dendrita. Corresponde al número complejo c = i. El conjunto de Julia correspondiente es conexo, pues i pertenece al conjunto de Mandelbrot.
(-0.123, 0.745)	60	Este último ejemplo de conjunto de Julia lleno tiene el nombre de fractal conejo de Douady. El correspondiente conjunto de Julia es conexo.

En esta actividad puedes alternar la visualización del conjunto de Julia (más exactamente, del conjunto de Julia lleno) asociado a c y el conjunto de Mandelbrot pulsando el botón "Conjunto de Julia" o "Conjunto de Mandelbrot". También podrás elegir el valor de la constante c (que no tiene por qué ser un número real, puede ser cualquier número complejo).

Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

Super zoom Julia

Nuevos recursos

Descubrir recursos

Descubre temas