Función Lineal (parte 1)
Dentro de las funciones definidas por fórmulas, vamos a analizar una de ellas, que es muy importante por sus aplicaciones tanto en Física como en otras ciencias: la función lineal. Vamos a analizar el recorrido de un auto que viaja a una velocidad constante de
La representación gráfica de esta función la como resultado una línea recta, en este caso en particular, tiene un dominio restringido (parte en un t=0) por lo que Dom(f)=[ ).
Supongamos que otros dos autos parten del mismo lugar y al mismo tiempo pero con velocidades de y respectivamente. La representación gráfica de los tres autos en un mismo sistema de ejes cartesianos sería la siguiente:
Podemos observar que la inclinación de las rectas que representan el movimiento de los tres autos tienen distinta inclinación o pendiente, cuanto mayor sea su velocidad, mas recorrido hará un auto en para la misma cantidad de tiempo.
En general, podemos escribir las funciones de este tipo de la siguiente manera:
f(x) = mx o y=mx
Donde "m" se conoce como pendiente de la recta.
Volvamos al ejemplo del auto viajando a : la pendiente de la recta que representa a la función es la velocidad (los), que es la variación del espacio recorrido en un determinado tiempo, y podemos expresar esta relación de la siguiente manera:
El símbolo Δ (se lee "delta") incida en matemática "variación", y la variación entre dos valores se define como la diferencia que existe entre ellos. Por ejemplo: la variación entre 5 y 1 es 4, dado que 5 - 1 = 4.
Y la fórmula de la velocidad queda:
Entonces, conociendo dos posiciones de nuestro auto, podemos calcular su velocidad, por ende, su pendiente. Por ejemplo, si tomamos el punto de partida 
y el punto correspondiente a la hora de recorrido 
:
Lo interesante es que podemos tomar dos puntos cualesquiera pertenecientes a la función y calcular su velocidad, podríamos haber tomado como 
y 
:
En general, la pendiente de una recta resulta de la variación de los valores de "y" con respecto a la variación de los valores de "x" y podemos calcular la pendiente de cualquier recta si conocemos las coordenadas de dos puntos pertenecientes a ella mediante la fórmula:
El símbolo Δ (se lee "delta") incida en matemática "variación", y la variación entre dos valores se define como la diferencia que existe entre ellos. Por ejemplo: la variación entre 5 y 1 es 4, dado que 5 - 1 = 4.
Y la fórmula de la velocidad queda:
Entonces, conociendo dos posiciones de nuestro auto, podemos calcular su velocidad, por ende, su pendiente. Por ejemplo, si tomamos el punto de partida y el punto correspondiente a la hora de recorrido :
Lo interesante es que podemos tomar dos puntos cualesquiera pertenecientes a la función y calcular su velocidad, podríamos haber tomado como y :
En general, la pendiente de una recta resulta de la variación de los valores de "y" con respecto a la variación de los valores de "x" y podemos calcular la pendiente de cualquier recta si conocemos las coordenadas de dos puntos pertenecientes a ella mediante la fórmula:
Ejemplo1:
Para determinar la pendiente de la siguiente recta, elijo dos puntos cualesquiera que pertenezcan a la gráfica, por ejemplo 
y 
:
y :
Ejemplo 2:
En este caso, voy a elejir los puntos 
y 
:
y :
ACTIVIDAD 1
Determinar la pendiente y la ecuación de las rectas a partir de los puntos que se indican para cada gráfica.
Respuestas
ACTIVIDAD 2:
A partir de los puntos dados a continuación, determinar la pendiente de las rectas y su ecuación. Graficar:
a) P1=(-3;-1) y P2=(6;2) b) P1=(1;3) y P2=(3;9) c) P1=(;) y P2=(4;2) d)P1=(-6;4) y P2=(0;0)
Graficar una función de tipo y=mx a partir de su pendiente
Podemos graficar una función y=mx a partir de dos puntos pertenecientes a la gráfica. Pero existe un método mas sencillo, y es a partir de su pendiente. Veamos un ejemplo:
Tenemos la siguiente función:
Significa que si nos desplazamos 5 unidades en x (
), partiendo del origen, por ejemplo, tendremos que desplazarnos 2 unidades positivas en y (
) para hallar otro punto de la recta. Veamos:
Significa que si nos desplazamos 5 unidades en x (), partiendo del origen, por ejemplo, tendremos que desplazarnos 2 unidades positivas en y () para hallar otro punto de la recta. Veamos:
Si la pendiente es negativa, como por ejemplo en la función:
Podemos considerar que la relación entre los desplazamientos es la siguiente: cada 3 unidades positivas en x (
), hay que desplazarse 2 unidades negativas en y (
) para hallar otro punto de la recta.
Podemos considerar que la relación entre los desplazamientos es la siguiente: cada 3 unidades positivas en x (), hay que desplazarse 2 unidades negativas en y () para hallar otro punto de la recta.ACTIVIDAD 3:
Graficar las siguientes funciones lineales definidas por fórmula en un mismo sistema:
a) b) c) d)
Ordenada al origen de una función lineal
Partamos del siguiente enunciado: "Un auto partiendo de Neuquén viaja a una velocidad constante de , en el mismo instante de tiempo, parte otro auto 150 km mas adelante con la misma dirección, y también a una velocidad de ".¿Cómo sería la representación gráfica de ambos autos en un mismo sistema de ejes cartesianos?
Para empezar, ambos autos tienen la misma velocidad, por lo tanto, la misma pendiente, la diferencia radica en el lugar en donde parten. Las funciones de espacio recorrido en función del tiempo para cada auto tienen que tener en cuenta la posición inicial, por lo que sus ecuaciones podrían expresarse de la siguiente manera:
Donde ei indica la posición inicial para cada auto.
Para el primero auto (A1), podemos poner como ei =0 km y para el segundo auto (A2), ei = 150 km. Entonces:
Donde ei indica la posición inicial para cada auto.
Para el primero auto (A1), podemos poner como ei =0 km y para el segundo auto (A2), ei = 150 km. Entonces:
La diferencia entre las dos funciones es que intersecan al eje de ordenadas en distintos lugares, es decir, tienen distinta ordenada al origen.
Ahora estamos en condiciones de definir cualquier función lineal a partir de su pendiente y su ordenada al origen:
Definición de función lineal:
Una función lineal, es aquella función que tiene por ecuación la forma:
o 
Donde:
m es la pendiente
n es la ordenada al origen
A partir de la ordenada al origen y la pendiente, podemos graficar cualquier recta sin necesidad de utilizar una tabla de valores.
Ejemplo:
Graficaremos la función
o
Donde:
m es la pendiente
n es la ordenada al origen
A partir de la ordenada al origen y la pendiente, podemos graficar cualquier recta sin necesidad de utilizar una tabla de valores.
Ejemplo:
Graficaremos la función
Nota: La pendiente está expresada como fracción (), pero también podemos expresarla como decimal () y la función puede expresarse como:
y la variación de y con respecto a x queda:
Es decir, por cada una unidad en x, debemos desplazarnos 1,5 unidades en y para hallar un punto de la recta.
y la variación de y con respecto a x queda:
Es decir, por cada una unidad en x, debemos desplazarnos 1,5 unidades en y para hallar un punto de la recta.Ejemplo 2:
Graficar la función:
Ejemplo 3:
Graficar la función
Nota: La pendiente, además de darnos la inclinación de la recta, nos dice si la función es creciente, decreciente o constante:
ACTIVIDAD 4:
Graficar las siguientes funciones lineales
a) 
b) 
c) 
d) 
e)
f) 
g) 
h) 
b) c) d)
e) f) g) h)