La Integral Definida
La integral definida.
Hasta ahora, con todos los contenidos que hemos estudiado, nos hemos venido preparando para poder aplicar y encontrar aplicación a las integrales.
En la sumas de Riemann, aprendimos que, si sumamos todas las diferenciales de área dA bajo una curva, dentro de dos límites establecidos, podemos calcular el área total de una manera aproximada.
También sabemos que, cuando más grande es la diferencial dx, mayor será el error que obtengamos.
Ahora, para poder eliminar el error, debemos hacer que dx tienda a 0. Básicamente, tenemos que integrar la siguiente función:
en donde
AT es el área total que nos interesa calcular.
a es el límite inferior.
b es el límite superior.
dA son las diferenciales de área rectangulares o trapezoidales bajo la curva.
f'(x) es la función de la curva bajo la cual queremos calcular el área.
dx es el valor del incremento en el eje de las abscisas. También representa el tamaño de la base de los rectángulos o trapecios.
Cuando obtenemos las integrales o antiderivadas, estamos haciendo que dx tienda a 0, por lo que eliminamos totalmente el margen de error.
Así pues, para ésta aplicación, en realidad estamos sumando las área de una cantidad infinita de rectángulos (o trapecios) dibujados bajo el área de la curva, con una base que tiene longitud cero, por lo que el cálculo será una suma de áreas infinitesimalmente pequeñas, dentro de dos límites establecidos [a, b].
Ahora ya podemos hablar de Integrales Definidas porque tienen límites o fronteras por todos lados, encerrando un área o superficie plana. Los límites son: El eje de las abscisas (eje "x"), la gráfica de la función f'(x), la línea vertical x=a y, finalmente la línea vertical x=b.
En la gráfica anterior, el área a calcular está sombreada en color naranja y está limitada por:
La función
El eje de las abscisas (eje "x")
El límite inferior
El límite superior
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Ahora bien, ¿Como se usarán los límites inferior y superior para calcular el área bajo la curva?
Sencillamente, hay que seguir los siguientes pasos:
1) Integrar la función como si se tratara de una integral indefinida, para obtener la función primitiva.
2) Evaluar la función primitiva con el valor de "b", el límite superior.
3) Evaluar la función primitiva con el valor de "a", el límite inferior.
4) Restar el resultado del límite inferior al resultado del límite superior, es decir,
Esto nos dice el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (TFC):
Veamos cómo calcular el área bajo la curva de la figura anterior utilizando el TFC:
1) Integrar la función como si se tratara de una integral indefinida:
2) Evaluar la función primitiva en el límite superior. En éste caso el límite superior es
3) Evaluar la función primitiva en el límite inferior. En éste caso, el límite inferior es
4) Restar
Observa algo que es muy interesante: ¡LAS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN SE CANCELAN! porque es una positiva y otra negativa, así que el resultado es:
A= 10.9166
SOLO PARA PRACTICAR
Para que practiques, calcula el área bajo las curvas que calculamos en el apartado anterior mediante sumas de Riemann y compara los resultados obtenidos:
1) Calcular el área bajo la curva
SUGERENCIA: Antes de integrar, utiliza álgebra para desarrollar el binomio al cuadrado y te resulte una integral mucho más sencilla.
RESPUESTA:
2) Calcular el área bajo la curva
RESPUESTA: