Significato geometrico della derivata prima e seconda
- Autore:
- Marcello PEDONE
- Argomento:
- Analisi, Grafici di curve, Derivata, Geometria
Significato geometrico della derivata prima e della derivata seconda
Il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto mette in relazione
il grafico della funzione e la retta tangente ad esso nel punto considerato.
La derivata nel punto ha il significato geometrico di coefficiente angolare,o pendenza,
della retta tangente.
Nel caso di una funzione derivabile di una variabile reale la condizione necessaria,
ma non sufficiente, affinché un punto possa, eventualmente,
essere di massimo o di minimo locale è data dal teorema di Fermat, in base al quale
la derivata prima di una funzione deve annullarsi
se calcolata in corrispondenza di un punto di massimo o minimo locale f’(x0 )=0.
Geometricamente questa condizione significa che la retta tangente nel punto x_0 è orizzontale.
Tale condizione non è né necessaria né sufficiente per avere un massimo o un minimo locale:
infatti da un lato ci possono essere punti di massimo o minimo locale anche laddove la funzione non è derivabile, e dall'altro ci possono essere punti (di flesso) dove la derivata si annulla ma la funzione non ha massimo o minimo locale.
Un punto di flesso per una curva o funzione è un punto in cui si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità.
Per verificare analiticamente se una funzione possiede punti di flesso,
sotto l'ipotesi di esistenza della derivata seconda,
si ricercano innanzitutto i valori di x per i quali quest'ultima si annulla: f''(x)=0
La condizione che f''(x)=0 è necessaria ma non sufficiente a garantire l'esistenza di un flesso in x_0 ,
perché la derivata seconda potrebbe non cambiare segno intorno a x_0 : questo accade se
la funzione presenta nel punto un contatto “superiore al secondo ordine” con la propria retta tangente.
Quindi si prosegue nell'analisi verificando che la derivata seconda cambi segno.
Questo accade precisamente quando la prima derivata non nulla calcolata nel punto x_0 successiva alla seconda è una derivata dispari.
Si può utilizzare lo studio del segno della derivata prima per classificare i punti critici
Si può utilizzare lo studio del segno della derivata seconda per classificare i punti di flesso