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中の定理の拡張その3

TriangleCenter(A, B, C, n_1)を使って、角度がぴったり同じ点(心)を調べる。等角共役点を結んだ線がオイラー線と平行になる場合はX_3,ⅹ_4,ⅹ_13,ⅹ_14,ⅹ_15,ⅹ_16の時。コツコツと3000まで調べた。等角共役だからこれらの点はペアになっている。5点を結んだ二次曲線を作図してみたが違っていた。

オイラー線と平行になる等角共役点に当たる心

当然ながらペアになっている。(それぞれⅩの添え字番号)    3ーーーーー4 外心ーーー垂心   13ーーーー15 第一フェルマー点ーーー第二等力点   14ーーーー16 第二フェルマー点ーーー第二等力点  399ーー1138  484ーー3065  616ーー3440  617ーー3441 1277ーー 1337ーー3479 1338ーー3480 2133--

これらの点の共通点は何だろう? 二次曲線を作図すると、はみ出す点があるので二次曲線ではない。ではこれらの点を正確に作図するにはどうしたらいいのだろうか。

まず、等角共役点の軌跡を求めてみる。DをUの垂線上において、locusコマンドでEの軌跡を描いてみたら二次曲線(AとBを通る水色の双曲線)となった。双曲線のこの場合は、Dを動かしてみると平行になる位置が3つある。

もっとわかりやすくするため、Uからオイラー線に対して平行線eを引いて、その上にDを置いてみた。すると二次曲線とeの交点が求めたい等角共役点だとわかる。Uを動かしてみよう。なお、locusではなくLocusEquation(E, D)を使うとeとの交点も求めることができる。

三角形の中だけで二次曲線を作図してみた。Rを動かしてみよう。ほぼあっているが少しずれる。2次ではなく3次曲線だと感じる。

作図完成。角度もぴったり合う。左下の▲をクリックしてアニメーションを動かしてみよう。楕円でなく卵型だ。もう一つの「中三角形」も作図してみよう。

「中の定理」の拡張

このシュミレーションによって、 オイラー線に平行な等角共役点の作る「中三角形」は△ABCと相似になる ことが示せた。 つまり、外心と垂心はこの特別な場合であり、「中の定理」の一つの拡張である。