Soluzioni
Esercizio 1
La funzione è continua su tutto R, quindi anche sull'intervallo .
Si ha e , perciò le ipotesi del corollario degli zeri sono soddisfatte.
Allora la funzione ammette almeno uno zero nell'intervallo considerato. Il grafico mostra che esiste un solo zero.
Esercizio 2
La funzione è definita per .
Sull'intervallo la funzione non è continua e le ipotesi del corollario non sono soddisfatte; allora nulla si può dire sull'esistenza degli zeri in quell'intervallo. Il grafico,però, mostra che non ci sono zeri.
Sull'intervallo la funzione è continua, ma e : i valori della funzione agli estremi non sono discordi e le ipotesi del corollario non sono verificate. Allora nulla si può dire sull'esistenza degli zeri in quell'intervallo. Il grafico mostra che non ci sono zeri.
Sull'intervallo la funzione è continua, e : i valori della funzione agli estremi sono discordi e le ipotesi del corollario degli zeri sono soddisfatte. Allora la funzione ammette almeno uno zero nell'intervallo considerato. Il grafico mostra che esiste un solo zero.
Esercizio 3
Trovare le soluzioni dell'equazione equivale a trovare gli zeri della funzione .
Poiché la funzione è un polinomi, essa è continua su qualunque intervallo, in particolare sull'intervallo .
Rimangono da calcolare i valori della funzione agli estremi, che sono e . Essi sono discordi quindi, per il corollario degli zeri, possiamo affermare che l'equazione ammette almeno una soluzione nell'intervallo considerato. Il grafico della funzione mostra che la soluzione è unica.
Esercizio 4
Mettiamo l'equazione in forma normale: .
Consideriamo la funzione polinomiale e calcoliamone i valori agli estremi dell'intervallo considerato . Si ha e . Poiché i valori sono discordi e la funzione è continua, il corollario degli zeri ci permette di affermare che l'equazione ammette almeno una soluzione nell'intervallo considerato. Il grafico mostra che la soluzione è unica.