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内接楕円の作図の証明

三角形に内接する楕円の作図

三角形に内接する楕円を作図するためには5点が必要。 3点は接点で決まっているが、あと2点必要。 そこで、極線を使って作図する。 この時、なぜ内接楕円になるのか証明をしていなかった。 証明は、極線の性質のみでできそうと感じたが、難しくて二日かかってしまった。 なお、 (H)はHの極線という意味。 Kが接点だということが言えればOK。 これは、射影で楕円に拡張できるし、外接楕円も同様に作図できる。

まず円の場合で証明してみます。

証明

JEと(H)の交点Kが接点であることを示す。 Hから接線をひき、ABとの交点をDとする。Kは接点。 さらに、Lの接線をひく。(K)との交点をOとする。 □EFLKは内接四角形で□DBTOは外接四角形。 外接内接四角形の定理によって、 極Mを通る極線の極はPJHNで、外接内接四角形の性質によりDの極線はKJを通る。 また、HKDは一直線上にあるので、その極線は一点Kを通る。 よって、JEを結んだ線と(H)の交点は接点である。 Lについても同様で、EFLGKによって内接する円(二次曲線)が描ける。

外接内接四角形の性質