eigenschappen van de gulden snede
In boek XIII 'De Platonische lichamen' gaat Euclides in op de eigenschappen van 'de verdeling in uiterste en middelste reden'.
Het zijn zuiver kwantitatieve eigenschappen die hij bekomt door met de lengtes van het grootste en het kleinste deel te spelen.
enkele voorbeelden::
Als een lijnstuk wordt verdeeld volgens de uiterste en middelste reden dan geldt:
- propositie1:
- prposieit4:
In de propositie 6 van boek XIII bewijst Euclides dat bij 'de verdeling van een lijnstuk in uiterste en middelste reden' beide delen irrationaal zijn.
Waar irrationaliteit bij de Pythagoreeërs geen plaats kreeg in hun denken over orde en proportie, is dat helemaal niet meer het geval bij Euclides. Irrationaliteit had intussen zijn rol in de Griekse wiskunde verworven.
