Funções e Equações Diferenciais Ordinárias Aplicadas a Relação entre Corrente e Tensão em um Capacitor Elétrico
Este material mostra como a carga e a tensão em um capacitor se relacionam e como isso é modelado por equações diferenciais em circuitos RC
De acordo com Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.227):
Os capacitores, junto com os resistores, são os componentes elétricos mais comuns.
Esses capacitores são elementos passivos projetados para armazenar energia em seu campo elétrico, são amplamente utilizados em eletrônica, comunicação, computadores e sistemas de potência. Como exemplos de suas aplicações incluem circuitos sintonizadores de rádio e elementos de memória dinâmica em sistemas de computador.
A capacitância é razão entre a carga sobre uma placa de um capacitor e a diferença de tensão entre as duas placas, medida em farads (F), em homenagem a Michael Faraday (1791-1867), um químico e físico inglês.
Considerando C como a constante de proporcionalidade que representa a capacitância do capacitor o montante de carga armazenada, representada por Q, é diretamente proporcional à tensão (). Dessa forma, como realizado com a primeira Lei de Ohm podemos interpretar a carga Q em função da tensão V como uma função linear.
Para a representação gráfica, deve-se levar em conta que a capacitância de 1 F é muito grande, e muitos capacitores são somente frações de um farad. Nesse sentido, prefixos (multiplicadores) são utilizados para mostrar valores menores. Por exemplo, é um milionésimo de 1 F .
Na janela gráfica do GeoGebra faça alterações nos valores reais do parâmetro a e observe o comportamento da função Q.
Carga elétrica em função da tensão no capacitor
Como funciona um capacitor em um circuito elétrico (cc)
Segundo Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.227):
Um capacitor armazena energia em seu campo elétrico, criado por cargas opostas em suas placas. Esse campo é representado por linhas de força, conforme representado no vídeo abaixo.
Faça você mesmo esse experimento com o simulador do capacitor disponível pela Universidade do Colorado.
Capacitor
Relação entre corrente e tensão
De acordo com Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.251) a relação entre carga e tensão para um capacitor dada pela Equação implica em taxas de variação (derivadas), sendo:
, como
A relação entre corrente e tensão para um capacitor implica que quanto mais
rápida for a variação da tensão sobre o capacitor maior será a corrente e vice-versa.
Se a tensão cresce no tempo, a derivada é positiva. Ela é negativa se a tensão diminui no tempo. Se a tensão se mantém constante (não varia), a corrente é zero.
Importante: nesse momento utilizamos as letras minúsculas v e i para designar tensão e corrente instantâneas, enquanto as letras V e I maiúsculas são utilizadas para tensão e corrente contínuas.
Dessa forma, devemos observar as seguintes propriedades de um capacitor:
1) Observe a partir da Equação que, quando a tensão sobre o capacitor não varia no tempo (i.e., tensão CC), a corrente através do capacitor é zero.
Um capacitor é um circuito aberto em corrente contínua (cc), entretanto, se uma bateria (tensão cc) é conectada ao capacitor, então ele se carrega.
2) A tensão sobre um capacitor dever ser contínua; isto é, a tensão sobre um capacitor não pode mudar abruptamente, conforme o gráfico da FIG.7 :
FIG.7: Tensão sobre um Capacitor
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,237)
Aqui, matematicamente, cabe um esclarecimento sobre a noção de diferenciabilidade e continuidade de uma função, pois, conforme FIG.7 , temos pontos de descontinuidade.
Vamos para um vídeo disponível no Khan Academy que esclarece exatamente esta noção.
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,237)
Aqui, matematicamente, cabe um esclarecimento sobre a noção de diferenciabilidade e continuidade de uma função, pois, conforme FIG.7 , temos pontos de descontinuidade.
Vamos para um vídeo disponível no Khan Academy que esclarece exatamente esta noção.
Diferenciabilidade e continuidade
Enquanto que não é fisicamente possível para o capacitor que a tensão assuma a forma mostrada na FIG.8 devido à mudança abrupta. Por outro lado, a corrente no capacitor pode mudar instantaneamente.
FIG.8: Configuração inexistente de Tensão sobre um Capacitor
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,237)
Que obviamente se justifica quando analisamos a diferenciabilidade e continuidade de uma função, pois, de acordo com o gráfico na FIG.8 temos pontos de descontinuidade.
3) Um capacitor ideal não dissipa energia. Ele recupera potência do circuito quando armazena energia em seu campo e devolve para o circuito a energia previamente armazenada quando entrega potência para o circuito, conforme .
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,237)
Que obviamente se justifica quando analisamos a diferenciabilidade e continuidade de uma função, pois, de acordo com o gráfico na FIG.8 temos pontos de descontinuidade.
3) Um capacitor ideal não dissipa energia. Ele recupera potência do circuito quando armazena energia em seu campo e devolve para o circuito a energia previamente armazenada quando entrega potência para o circuito, conforme .
Como os capacitores funcionam, onde são usados e quais as diferenças entre eles?
O canal Mentalidade de Engenharia, no Youtube. por meio de um vídeo explica muito bem como os capacitores funcionam, onde e porque são usados, além de apresentar os diferentes tipos.
Geralmente os capacitores em fator de potência e retificadores de ponte completos são usados para converter, em circuitos elétricos, Corrente Alternada (ac) em Corrente Contínua (cc).
Funções aplicadas ao Circuito RC no Processo de Carga e Descarga de Capacitores
Considere um circuito composto por uma bateria, um resistor e um capacitor conectados em série. Inicialmente, o capacitor está descarregado. Quando a chave é fechada no tempo ( t = 0 ), o capacitor começa a carregar. A Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) é aplicada ao circuito para analisar o processo de carga do capacitor.
FIG.9: Circuito de carga do capacitor
LKT:
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.239)
A tensão sobre o capacitor em qualquer instante de tempo t pode ser modelada por uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
(1)
e , substituindo em (1):
(2)
Sabemos que a corrente representa a taxa de variação da carga elétrica , sendo , substituindo em (2):
(3) , uma EDO de primeira ordem onde a função desconhecida Q é a carga do capacitor .
Vamos resolver esta equação (3). Para facilitar os cálculos vamos resolver primeiramente o problema sem a presença da fonte de tensão (bateria) no circuito representado na FIG.9, ou seja, vamos resolver a EDO na forma homogênea.
(4)
Dessa forma, vamos em busca de uma função desconhecida Q, em que a sua taxa de variação em função do tempo t é proporcional a sua carga elétrica . Uma das funções que tem essa propriedade é a função exponencial.
Seja uma função exponencial com a carga elétrica no instante t=0, ou seja, .
Assim, identificamos que de fato é solução da EDO homogênea.
Outra método para se chegar a essa solução, entre diversos, trata-se do método dos coeficientes indeterminados:
, por se tratar de uma EDO homogênea
Considere uma equação auxiliar para encontrar a solução da EDO homogênea , sendo:
, sendo e
Essa solução depende das condições iniciais no instante t=0.
Vamos identificar a representação gráfica desse tipo de EDO modelada para um circuito RC sem fonte de tensão no GeoGebra e analisar o seu comportamento gráfico.
Como exemplo, vamos considerar os seguintes valores para R,C e :
, e
LKT:
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.239)
A tensão sobre o capacitor em qualquer instante de tempo t pode ser modelada por uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
(1)
e , substituindo em (1):
(2)
Sabemos que a corrente representa a taxa de variação da carga elétrica , sendo , substituindo em (2):
(3) , uma EDO de primeira ordem onde a função desconhecida Q é a carga do capacitor .
Vamos resolver esta equação (3). Para facilitar os cálculos vamos resolver primeiramente o problema sem a presença da fonte de tensão (bateria) no circuito representado na FIG.9, ou seja, vamos resolver a EDO na forma homogênea.
(4)
Dessa forma, vamos em busca de uma função desconhecida Q, em que a sua taxa de variação em função do tempo t é proporcional a sua carga elétrica . Uma das funções que tem essa propriedade é a função exponencial.
Seja uma função exponencial com a carga elétrica no instante t=0, ou seja, .
Assim, identificamos que de fato é solução da EDO homogênea.
Outra método para se chegar a essa solução, entre diversos, trata-se do método dos coeficientes indeterminados:
, por se tratar de uma EDO homogênea
Considere uma equação auxiliar para encontrar a solução da EDO homogênea , sendo:
, sendo e
Essa solução depende das condições iniciais no instante t=0.
Vamos identificar a representação gráfica desse tipo de EDO modelada para um circuito RC sem fonte de tensão no GeoGebra e analisar o seu comportamento gráfico.
Como exemplo, vamos considerar os seguintes valores para R,C e :
, e
Função Exponencial e EDO homogênea aplicadas no processo de descarga de um capacitor elétrico.
O vídeo evidencia que a função exponencial decrescente da EDO linear de primeira ordem representa o processo de descarga de um capacitor elétrico para os valores conhecidos de R, C e do circuito elétrico sem fonte de tensão.
Faça você mesmo as alterações nos valores reais do parâmetro t e analise o comportamento gráfico da função Q. Clique nos itens EDO, Solução Homogênea e Função Carga Elétrica.
Função Aplicada a Tensão no processo de descarga de um Capacitor Elétrico
Considerando que inicialmente o capacitor está totalmente carregado no circuito RC em série, dessa forma sabemos que e que , também sabemos que
Substituindo em (5)
Por sua vez (6) , substituindo (6) em (5):
a função exponencial aplicada a tensão no processo de descarga de um Capacitor Elétrico em um circuito RC em série.
Vamos representar essa função no GeoGebra procurando analisar o comportamento gráfico quando alteramos os valores reais de t,R,C e
Faça alterações nos valores reais de t,R, C e e analise o comportamento gráfico da função exponencial aplicada a Tensão em um Capacitor no seu processo de descarga elétrico em um circuito RC em série.
Função Exponencial Aplicada a Tensão no Resistor
Vamos agora, vamos analisar a Função Exponencial Aplicada a Tensão no Resistor durante o processo de descarga de um Capacitor Elétrico no Circuito RC em série.
Sabemos que e que pela LKT :
Funções Exponenciais Aplicadas em um Circuito RC em Série
Faça alterações nos valores reais de t, R, C e procurando analisar a tensão elétrica no capacitor, inicialmente carregado, em processo de descarga e o aumento da tensão elétrica no resistor por meio das funções e no circuito RC em série.
Funções aplicadas ao Circuito RC em série no Processo de Carga e Descarga de Capacitores
Voltamos ao caso inicial do circuito elétrico RC conectados em série. Inicialmente, o capacitor está descarregado. Quando a chave é fechada no tempo ( t = 0 ), o capacitor começa a carregar. A Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) é aplicada ao circuito para analisar o processo de carga do capacitor.
FIG.10: Circuito de carga do capacitor
LKT:
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.254)
A tensão sobre o capacitor em qualquer instante de tempo t pode ser modelada, de acordo a LKT, por uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
(07)
Resolvendo a EDO pelo método dos coeficientes indeterminados já sabemos que a função carga elétrica
é solução homogênea dessa EDO, dessa forma, vamos em busca de uma uma função carga elétrica como solução particular para a EDO.
A solução geral da EDO não homogênea pode ser escrita como:
Sabendo que é um polinômio de grau 0, procuramos uma solução particular do tipo .
Substituindo na EDO (7):
Portanto:
(8)
Como substituindo em (8):
(9)
De acordo com o Problema de Valor Inicial (PVI) (capacitor descarregado em t=0):
, subsituindo em (9):
(10)
LKT:
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.254)
A tensão sobre o capacitor em qualquer instante de tempo t pode ser modelada, de acordo a LKT, por uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
(07)
Resolvendo a EDO pelo método dos coeficientes indeterminados já sabemos que a função carga elétrica
é solução homogênea dessa EDO, dessa forma, vamos em busca de uma uma função carga elétrica como solução particular para a EDO.
A solução geral da EDO não homogênea pode ser escrita como:
Sabendo que é um polinômio de grau 0, procuramos uma solução particular do tipo .
Substituindo na EDO (7):
Portanto:
(8)
Como substituindo em (8):
(9)
De acordo com o Problema de Valor Inicial (PVI) (capacitor descarregado em t=0):
, subsituindo em (9):
(10)
Funções exponenciais e EDO aplicadas ao circuito RC em série
Vamos analisar as funções exponenciais que tratam das tensões elétricas no capacitor em processo de carregamento e no resistor.
As funções foram originadas por EDOs que modelam um circuito RC em série.
Constante de tempo
De acordo com a FIG.11, no vídeo temos um complemento sobre a constante de tempo de um circuito que refere-se ao tempo necessário para o carregamento de 63% da tensão no capacitor em relação a fonte de tensão .
FIG.11: Curva de Carregamento de um Capacitor
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.239)
Agora é sua vez!
Faça alterações nos valores reais de , R, C e t e analise o comportamento gráfico das funções exponenciais que representam as tensões elétricas no capacitor e no resistor durante o processo de carregamento do capacitor em um circuito RC em série.
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.239)
Agora é sua vez!
Faça alterações nos valores reais de , R, C e t e analise o comportamento gráfico das funções exponenciais que representam as tensões elétricas no capacitor e no resistor durante o processo de carregamento do capacitor em um circuito RC em série.
Função Exponencial Aplicada a Corrente Elétrica no processo de carga de um capacitor no ciruito RC em série.
De acordo com Sadiku, Musa, Alexander (2014,p.240) a corrente de carregamento é determinada pela tensão sobre o resistor conforme funções:
, com
A constante de tempo (em segundos) de um circuito representa o tempo necessário para a corrente elétrica diminuir para 36,8% do seu valor inicial em t=0.
De fato, quando
A seguir apresentamos um vídeo que trata da representação gráfica e análise da função corrente elétrica, a constante de tempo e o esquema do circuito RC .
Faça alterações nos valores reais de , R , C e t e analise o comportamento gráfico da função corrente elétrica originada a partir de uma EDO que foi modelada por um circuito RC em série durante o processo de carregamento de um capacitor.
Referências:
SADIKU, Matthew N. O; ALEXANDER, Charles K.; MUSA, Sarhan. Análise de circuitos elétricos com aplicações. AMGH Editora, 2014.
Capacitores
De acordo com Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.227):
Os capacitores, junto com os resistores, são os componentes elétricos mais comuns.
Esses capacitores são elementos passivos projetados para armazenar energia em seu campo elétrico, são amplamente utilizados em eletrônica, comunicação, computadores e sistemas de potência. Como exemplos de suas aplicações incluem circuitos sintonizadores de rádio e elementos de memória dinâmica em sistemas de computador.
A capacitância é razão entre a carga sobre uma placa de um capacitor e a diferença de tensão entre as duas placas, medida em farads (F), em homenagem a Michael Faraday (1791-1867), um químico e físico inglês.
Considerando C como a constante de proporcionalidade que representa a capacitância do capacitor o montante de carga armazenada, representada por Q, é diretamente proporcional à tensão (). Dessa forma, como realizado com a primeira Lei de Ohm podemos interpretar a carga Q em função da tensão V como uma função linear.
Para a representação gráfica, deve-se levar em conta que a capacitância de 1 F é muito grande, e muitos capacitores são somente frações de um farad. Nesse sentido, prefixos (multiplicadores) são utilizados para mostrar valores menores. Por exemplo, é um milionésimo de 1 F .
Na janela gráfica do GeoGebra faça alterações nos valores reais do parâmetro a e observe o comportamento da função Q.
Capacitores
De acordo com Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.227):
Os capacitores, junto com os resistores, são os componentes elétricos mais comuns.
Esses capacitores são elementos passivos projetados para armazenar energia em seu campo elétrico, são amplamente utilizados em eletrônica, comunicação, computadores e sistemas de potência. Como exemplos de suas aplicações incluem circuitos sintonizadores de rádio e elementos de memória dinâmica em sistemas de computador.
A capacitância é razão entre a carga sobre uma placa de um capacitor e a diferença de tensão entre as duas placas, medida em farads (F), em homenagem a Michael Faraday (1791-1867), um químico e físico inglês.
Considerando C como a constante de proporcionalidade que representa a capacitância do capacitor o montante de carga armazenada, representada por Q, é diretamente proporcional à tensão (). Dessa forma, como realizado com a primeira Lei de Ohm podemos interpretar a carga Q em função da tensão V como uma função linear.
Para a representação gráfica, deve-se levar em conta que a capacitância de 1 F é muito grande, e muitos capacitores são somente frações de um farad. Nesse sentido, prefixos (multiplicadores) são utilizados para mostrar valores menores. Por exemplo, é um milionésimo de 1 F .
Na janela gráfica do GeoGebra faça alterações nos valores reais do parâmetro a e observe o comportamento da função Q.
Capacitores
De acordo com Sadiku, Musa, Alexander (2014, p.227):
Os capacitores, junto com os resistores, são os componentes elétricos mais comuns.
Esses capacitores são elementos passivos projetados para armazenar energia em seu campo elétrico, são amplamente utilizados em eletrônica, comunicação, computadores e sistemas de potência. Como exemplos de suas aplicações incluem circuitos sintonizadores de rádio e elementos de memória dinâmica em sistemas de computador.
A capacitância é razão entre a carga sobre uma placa de um capacitor e a diferença de tensão entre as duas placas, medida em farads (F), em homenagem a Michael Faraday (1791-1867), um químico e físico inglês.
Considerando C como a constante de proporcionalidade que representa a capacitância do capacitor o montante de carga armazenada, representada por Q, é diretamente proporcional à tensão (). Dessa forma, como realizado com a primeira Lei de Ohm podemos interpretar a carga Q em função da tensão V como uma função linear.
Para a representação gráfica, deve-se levar em conta que a capacitância de 1 F é muito grande, e muitos capacitores são somente frações de um farad. Nesse sentido, prefixos (multiplicadores) são utilizados para mostrar valores menores. Por exemplo, é um milionésimo de 1 F .
Na janela gráfica do GeoGebra faça alterações nos valores reais do parâmetro a e observe o comportamento da função Q.
Artigo:
Silva, C. R., & Boscarioli, C. (2026). Livro digital interdisciplinar com GeoGebra: aplicações de equações diferenciais a circuitos elétricos em corrente contínua. Revista Do Instituto GeoGebra Internacional De São Paulo, 15(1), 007–035. https://doi.org/10.23925/2237-9657.2026.v15i1p007-035