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Péndulo simple

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra El dominio del Tiempo. Esta animación simula el movimiento de un péndulo simple en tiempo real, despreciando el peso de la varilla y el rozamiento. La animación no hace uso de fórmulas (ni trigonometría ni ecuaciones ni cálculo diferencial), solo realiza las variaciones necesarias en los vectores que dirigen el movimiento. Una masa, representada por el punto azul, se encuentra en el extremo de la varilla, cuya posición inicial puedes colocar en cualquier lugar de la parte izquierda de la circunferencia, hasta una amplitud de 175º. (Se llama amplitud angular al ángulo máximo que alcanza el péndulo respecto a su posición vertical.) La animación varía en cada instante tanto el vector velocidad v (en rojo) como la posición M de la masa, debido a la acción de la gravedad, cuya aceleración constante está representada por el vector g (en línea verde discontinua). Este vector se puede descomponer como suma de dos: uno perpendicular a la varilla (en verde, gt) y otro en la dirección de la varilla (este otro vector no interviene en el movimiento porque su efecto queda anulado por la rigidez de la varilla o, en el caso de un hilo, por la tensión del hilo). Adecuamos el guion del deslizador anima: Valor(v, vt + dt gt) Es decir, cada vez que pasa una cantidad de tiempo dt muy pequeña, por definición de aceleración, la velocidad aumenta dt gt.
  • Nota: vt es un vector con el mismo módulo que v, pero que conserva siempre la misma dirección perpendicular a la varilla; es necesario cambiar v por vt ya que si sumásemos directamente v con dt gt, el vector v perdería paulatinamente esa perpendicularidad, pues la dirección de v un instante antes ya no es perpendicular a la varilla un instante dt después.
Observa que para amplitudes pequeñas (menores de 10º, aproximadamente), el período T es prácticamente constante e igual al período T0 del movimiento armónico simple (MAS). El resultado se ajusta bastante bien a la realidad, incluso para amplitudes angulares grandes, para las que no es buena la aproximación del movimiento pendular al de un movimiento armónico simple, como puedes comprobar. A partir de 130º, el cálculo del período teórico conlleva trabajar con números demasiado elevados, por lo que GeoGebra no lo puede calcular con suficiente precisión, mientras que el período de la animación sigue ajustándose bastante bien al modelo ideal. Para amplitudes mayores de 175º, el período seguiría aumentando y tiende a infinito al acercarse la amplitud a 180º. Atención: puedes detener la animación en cualquier momento, pero si lo haces deberás pulsar el botón Reinicia para actualizar el contador de tiempo, en caso contrario el péndulo puede "despendolarse".
GUION DEL DESLIZADOR anima # Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt Valor(tt, t1(1)) Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3)) Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) - tt)/1000) # Mueve M Valor(aux, vt) Valor(v, vt + dt gt) Valor(M, M + dt v) # Registra el tiempo del período y el número de oscilaciones completas Valor(reg, Si(x(aux) < 0 ∧ x(vt) > 0, Añade(t, reg), reg)) Valor(osci, Si(x(aux) < 0 ∧ x(vt) > 0, osci + 1, osci)) Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.