Rettungsstation für Bora

Zu den drei Dörfern A, B und C soll eine Rettungsstation gebaut werden. Der Punkt M ist von allen drei Dörfern gleich weit entfernt, wäre also die "gerechte" Lösung. Dass "gut gemeint" jedoch häufig das Gegenteil von "gut gemacht" ist, zeigt unsere Konstruktion. Eine sinnvollere Anforderung an die Lage der Rettungsstation wäre es, die Summe der Entfernungen zu den drei Dörfern zu minimieren. Wie Sie sehen ist in diesem Sinne der Punkt P(7/4) aus der Aufgabenstellung von Aufgabe 35 eine bessere Wahl.
Ziehen Sie an Punkt P und beobachten Sie die Entfernungssumme ( rot ). Finden Sie die Stelle für das Minimum. Sie könne auch die Punkte A, B und C beliebig verändern. Klicken Sie auf das Kontrollkästchen, und Sie erhalten einen Tipp. Der bekannte Mathematiker Pierre de Fermat (1601 - 1665 ) stellte dem weniger bekannten, aber mindestens so bedeutenden Mathematiker Evangelista Torricelli die folgende Aufgabe, die dieser auf verschiedene Weisen löste: Aufgabe: Man finde einen Punkt F in oder auf einem gegebenen Dreieck ABC, sodass die Summe der Abstände |FA| + |FB| + |FC| minimal ist. Torricelli fand folgendes: Wenn ein Winkel größer oder gleich 120° ist, so ist der gesuchte Punkt ein Eckpunkt des Dreiecks, nämlich der Scheitelpunkt des stumpfen Winkels. Wenn alle drei Winkel kleiner als 120° sind, errichte man über jeder der drei Seiten ( zwei reichen ) ein gleichseitiges Dreieck und verbinde die Eckpunkte des Dreiecks jeweils mit dem äußeren Eckpunkt des gegenüberliegenden gleichseitigen Dreiecks. Diese Verbindungslinien schneiden sich in dem gesuchten Fermatpunkt. Übungsaufgabe: Untersuchen Sie den Spezialfall, dass die 3 Punkte auf einer Gerade liegen. Wie ist es mit 4, 5, n Punkten. Formulieren Sie eine Regel. Tipp: Betrachten Sie einfach Stellen auf der x-Achse. Siehe dazu auch die folgende Geogebra Datei: