Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz - das bestimmte Integral
Gegeben sind zwei Funktionen und für die gilt: . Außerdem sind zwei Zahlen und gegeben, mit .
Dann gilt:
und nennt man Integrationsgrenzen. Ein Integral mit Integrationsgrenzen ist ein bestimmtes Integral. Entsprechend nennt man ein Integral ohne Grenzen auch unbestimmtes Integral.
Bestimmte Integrale sind eine Flächenbilanz
Während das Ergebnis eines unbestimmten Integrals eine Stammfunktion ist, ist das Ergebnis eines bestimmten Integrals eine Zahl. Diese Zahl beschreibt die Flächenbilanz zwischen dem Funktionsgraphen von und der Abszisse im Intervall .
Dabei werden die Flächen, die unterhalb der Abszisse sind, negativ und die Flächen oberhalb der Abszisse positiv bewertet. Man nennt eine Fläche, die positive und negative Anteile haben kann, auch eine gerichtete Fläche.
Ein Beispiel
Gesucht ist die Fläche zwischen einer Parabel und der Abszisse im Intervall (siehe Geogebra-Arbeitsblatt im vorhergehenden Kapitel).
Also ist die Stammfunktion . Außerdem ist und .
Da die Parabel keine negativen Funktionswerte hat, gibt es keine negativen Flächenanteile und so ist die Flächenbilanz auch gleich der Fläche:
Die Integrationskonstante darf bei bestimmten Integralen grundsätzlich weggelassen werden, weil Sie wegen wegfällt. Im Folgenden ist die oben stehende Rechnung einmal mit Integrationskonstante durchgeführt:
In der oben stehenden Rechnung ist zu sehen, dass die Integrationskonstante bei addiert und mit wieder subtrahiert wird.