Aproximación a f(a,b) con el plano tangente
El plano tangente a una superficie en un punto nos permite aproximar el valor de la función en puntos cercanos, de manera similar a cómo la recta tangente aproxima funciones de una variable.
Idea fundamental
Si tenemos una función f(x,y) y conocemos su valor en un punto (x₀, y₀), podemos usar el plano tangente en ese punto para estimar f(x,y) en puntos (x,y) próximos a (x₀, y₀).
El plano tangente
La ecuación del plano tangente a z = f(x,y) en el punto (x₀, y₀, f(x₀,y₀)) es:
z = f(x₀,y₀) + fₓ(x₀,y₀)·(x - x₀) + fᵧ(x₀,y₀)·(y - y₀)
donde fₓ y fᵧ son las derivadas parciales de f respecto a x e y.
Aproximación lineal
Para aproximar f(x,y) cerca de (x₀, y₀) usamos:
f(x,y) ≈ f(x₀,y₀) + fₓ(x₀,y₀)·(x - x₀) + fᵧ(x₀,y₀)·(y - y₀)
Esta expresión se llama aproximación lineal o diferencial total de f en (x₀, y₀).
Interpretación geométrica
- El plano tangente "toca" la superficie en (x₀, y₀)
- Cerca de este punto, el plano y la superficie están muy próximos
- Cuanto más cerca esté (x,y) de (x₀, y₀), mejor será la aproximación