Mudança de Variável na Integral Dupla
- Autor:
- Waldecir Bianchini
- Tópico:
- Cálculo, Cálculo Integral
Coordenadas Curvilíneas
A JGI (Janela Gráfica Interativa) nos mostra uma interpretação geométrica de mudança de variáveis na Integral Dupla quando a função f(x,y)=1.
No exemplo temos uma transformação T(u,v)=(x,y) do plano uv no plano xy, dada por
A transformação T leva cada subregião de D' em uma subregião de D. Agora, a área de cada subregião pode ser aproximada pela área do paralelogramo (verde) formado pelos vetores
A soma das áreas (=Jacobiano de T) desses paralelogramos dá aproximadamente a área A da região D. Se fizermos uma divisão regular nos intervalos [a,b] e [c,d], i.é,
então a área A da região D, é dada pela integral dupla
onde o Jacobiano é calculado em cada ponto . Observe que o lado direito da equação é a soma de Riemann para a integral dupla do Jacobiano (função) sobre D'. Assim,
Observe a semelhança entre a fórmula de mudança de variável de uma variável e esta. Na de uma variável foi introduzido um fator de correção de escala x'(t) e na de 2 variáveis o fator de correção de área é o Jacobiano.
Agora, observe que a área de cada paralelogramo verde formado pelos vetores e pode ser reescrita como
Logo,
onde A' =(b-a)(d-c) é a área de D'. Portanto, geometricamente, a área A pode ser calculada aproximadamente pela multiplicação de um fator de correção (soma dos Jacobianos em cada ponto vezes ) com a área A' de D'.
- Coordenadas Polares:
Na JGI abaixo, passe para coordenadas polares e observe o que acontece com as retas horizontais e verticais do plano uv para o plano polar.
Modifique as restrições e calcule aproximadamente o valor de .