Dodecaedro regular

Se trata de un sólido platónico, poliedro regular convexo, con 12 caras pentágonos regulares, que concurren 3 en cada uno de sus 20 vértices, unidos por 30 aristas. Es el dual del icosaedro. Tiene 6 ejes de simetría pentagonal, pasando por los centros de caras opuestas, 10 ejes trigonales que pasan por los vértices opuestos, y 15 ejes digonales que pasan por los centros de cada par de aristas opuestas. Igualmente tiene 15 planos de simetría que contienen a un para de aristas opuestas. Para calcular su volumen se puede calcular el de las pirámides que tienen vértice en su centro y base cada una de sus caras. Para hallar la altura de estas pirámides, radio r de la esfera inscrita, se toma una sección por el plano medio de dos caras opuestas, que corta a 10 aristas en su punto medio, formando un decágono regular. El radio ρ de este decágono, es el radio de la esfera tangente a las aristas del dodecaedro.
Alternativamente, el dodecaedro se puede descomponer en un cubo de lado la diagonal de los pentágonos, de longitud φa, y seis cuñas (como tejados a 4 aguas), cuyo volumen se calcula fácilmente mediante la fórmula del Prismatoide, una vez determinada su altura con el Teorema de Pitágoras..