Integral de linha escalar
- Autor:
- Waldecir Bianchini
- Tópico:
- Cálculo, Cálculo Integral
A JGI mostra uma interpretação geométrica da Integral de Linha de uma Função Escalar f positiva sobre uma curva suave C dada pelas equações paramétricas x = x(t), y = y(t), para t num intervalo [a,b].
A integral de linha pode ser interpretada como sendo a área A (amarela) de um cilindro vertical, cuja geratriz é a curva C como um limitante inferior e limitada superiormente pela curva cujo gráfico é o da função f restrita nos pontos de C.
Para definir a integral de linha, considere uma partição de [a,b] em n+1 pontos . Isso produzira uma partição na curva C em n+1 pontos . Tome um ponto qualquer entre os pontos e . Considere o cilindro que tem como base o arco e altura . Seja o comprimento do arco , então, a área . Logo, a área total A
e a integral de linha é definida como
Marque a caixa "área cilindro aproximada" para ver a interpretação geométrica dessa definição.
A JGI mostra ainda uma outra interpretação geométrica:
Veja que a curva C, pode ser aproximada por uma poligonal formada pelos pontos e assim a área de cada cilindro pode ser aproximda pela área do retângulo tendo como base o segmento que vai de a e altura . Portanto a área A (amarela) é aproximada pela soma das áreas dos cilindro (azul) pode ser aproximado pela área de um cilindro poligonal (verde) como mostra a JGI .
Se você mover a régua n verá que o valor da área do cilindro poligonal (verde) se aproximará do valor da soma das áreas (azul) e também da área (real) do cilindro A (amarelo) que foi calculada pela integral de linha.
Você pode visualizar, também, que a integral de linha extende a integral definida de uma função de uma variável real. Para isso, modifique a curva C para ser o eixo x e verá que a soma na definição de integral de linha nada mais é que uma soma de Riemann para funções reais.