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Teorema della media integrale

Autor:Gabbi Enrico
Tema:Medias

ENUNCIATO

Data una funzione y=f(x) continua in un intervallo [a,b], esiste almeno un punto c∈[a,b] tale che

o in alternativa

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SIGNIFICATO GEOMETRICO

La prima forma della tesi del teorema della media integrale si può interpretare affermando che "data una funzione y=f(x) continua in un intervallo [a,b], esiste almeno un punto c∈[a,b] tale che il rettangolo di base [a,b] e altezza f(c) ha la stessa area della superficie compresa tra la curva e l'asse x."

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OSSERVAZIONE

La seconda forma della tesi del teorema della media integrale ne giustifica il nome definendo pertanto il punto c∈[a,b] valor medio.

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ISTRUZIONI

  • Si possono spostare gli estremi a e b per modificare l'intervallo d'integrazione
  • Mostra guide: mostra/nasconde 4 punti sul grafico mediante i quali modificare la funzione
  • Mostra traccia: mostra/nasconde la traccia della funzione esterna all'intervallo d'integrazione
  • Mostra area: mostra/nasconde l'area compresa tra la curva e l'asse X, ovvero l'integrale definito.
  • Mostra pt. medio: sull'asse X mostra/nasconde il valore medio c (anche più di uno) e relativo valore f(c) sull'asse Y
  • Mostra rettangolo: mostra/nasconde il rettangolo con area uguale all'integrale definito e relativo calcolo, ovvero la tesi del Teorema.

DIMOSTRAZIONE

Per ipotesi la funzione è continua nell'intervallo chiuso [a, b], quindi per il Teorema di Weierstrass all'interno dell'intervallo ammette massimo e minimo assoluti, ovvero:

ovvero

Pertanto vale la seguente disuguaglianza triangolare:

da cui dividendo tutto per si ottiene:

La funzione è continua nell'intervallo chiuso [a, b], quindi vale il Teorema dei valori intermedi, ovvero la funzione assume tutti i valori compresi tra i valori di minimo e massimo. Quindi

ovvero la tesi del teorema.

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QUESITO 1

L'enunciato prevede che il punto c∈[a,b], ovvero che c possa coincidere uno gli estremi a e b; sapresti individuare una situazione in cui questo accade?

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QUESITO 1

L'enunciato prevede tra le ipotesi che la funzione sia continua in [a,b]; come definiresti una funzione non continua che non verifica il teorema? P.S. Puoi scrivere l'equazione

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