Teorema de Tales
![Tales de Mileto,[i] wikipedia[/i]](https://beta.geogebra.org/resource/pe2uadqh/YzP3PbHTwrJJARh0/material-pe2uadqh.png)
Tales de Mileto fue un matemático griego que presentó un teorema muy importante que veremos a continuación
Teorema de Tales
En un triángulo ABC si D Y E son puntos en AB y AC respectivamente, tales que el segmento DE es paralelo al lado BC, entonces los puntos D Y E determinan segmentos proporcionales a los lados, es decir:
Veamos la siguiente figura
Demostración Teorema de Tales
Trazaremos el segmento BE y la perpendicular EH desde el vértice E al lado AB
Observamos que el triángulo ABE y el triángulo ADE tienen la misma altura EH. Por lo tanto...
y . Entonces:
(a)
Similarmente,
(b)
Como los triángulos DBE y DCE tienen la misma base DE y como DE y BC son paralelas, tienen la misma altura. Por tanto: . Entonces:
(c)
De (a), (b), y (c) concluimos que .
Recíproco del Teorema de Tales
Si en un triángulo ABC se tiene puntos D y E sobre los lados AB y AC respectivamente, tales que , entonces DE es paralelo al lado BC.
Demostración del Teorema de Tales
Sea BC' la recta paralela a DE que pasa por B y corta a AC en C' como en la siguiente figura:
Por el Teorema de Tales se tiene que . Pero por hipótesis sabemos que . Por lo tanto AC=AC' y entonces C=C'.
Por lo tanto, DE es paralelo a BC.