Teorema de Tales

Tales de Mileto,[i] wikipedia[/i]
Tales de Mileto, wikipedia
Tales de Mileto fue un matemático griego que presentó un teorema muy importante que veremos a continuación

Teorema de Tales

En un triángulo ABC si D Y E son puntos en AB y AC respectivamente, tales que el segmento DE es paralelo al lado BC, entonces los puntos D Y E determinan segmentos proporcionales a los lados, es decir: Veamos la siguiente figura

Demostración Teorema de Tales

Trazaremos el segmento BE y la perpendicular EH desde el vértice E al lado AB
Observamos que el triángulo ABE y el triángulo ADE tienen la misma altura EH. Por lo tanto... y . Entonces: (a) Similarmente, (b) Como los triángulos DBE y DCE tienen la misma base DE y como DE y BC son paralelas, tienen la misma altura. Por tanto: . Entonces: (c) De (a), (b), y (c) concluimos que .

Recíproco del Teorema de Tales

Si en un triángulo ABC se tiene puntos D y E sobre los lados AB y AC respectivamente, tales que , entonces DE es paralelo al lado BC.

Demostración del Teorema de Tales

Sea BC' la recta paralela a DE que pasa por B y corta a AC en C' como en la siguiente figura:
Por el Teorema de Tales se tiene que . Pero por hipótesis sabemos que . Por lo tanto AC=AC' y entonces C=C'. Por lo tanto, DE es paralelo a BC.