Lunghezza di una curva
TEOREMA
Data una funzione derivabile nell'intervallo , la lunghezza del tratto di curva compreso nell'intervallo è:
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DIMOSTRAZIONE
Si suddivide l'intervallo in n intervalli uguali , con e , di ampiezza .
Si uniscono gli estremi della funzione in ogni intervallo, ovvero i punti di coordinate generando una poligonale che approssima la curva all'aumentare di n.
Ogni tratto si individua un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa i segmenti stessi e con i cateti paralleli agli assi, rispettivamente e .
Pertanto, applicando il Teorema di Pitagora, la lunghezza di ogni tratto è:
dopo aver raccolto e portato fuori radice .
La lunghezza della poligonale è pertanto la somma delle lunghezze dei singoli tratti, ovvero:In analogia alla definizione d'integrale definito, se si calcolano i limiti per n che tende a infinito si ha quanto segue:
ovvero concettualmente si riconduce la sommatoria discreta alla sommatoria continua , diventa infinitesimo , mentre diventa .
Riordinando si ottiene:
OSSERVAZIONE
In caso che la funzione non sia derivabile in un numero finito di punti, ovvero non continua con discontinuità di prima e/o terza specie, si può ripartire il problema partizionando l'intervallo e applicando la proprietà 5 degli integrali definiti.