Grupo de isometrías

Autor:: Rafael Losada Liste

Tema(s):: Vectores 3D (tridimensionales), Álgebra, Geometría, Matrices, Transformación de semejanza o Semejanza, Sólidos o Figuras 3D, Simetría, Transformacionse geométricas, Vectores

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Las tres isometrías que hemos visto (traslación, giro y reflexión), junto con sus composiciones, constituyen un subgrupo (llamado grupo euclídeo) del grupo de transformaciones afines, es decir:

Al componer dos isometrías se obtiene una nueva isometría.
Existe una isometría (la identidad) que al componerla con otra no la altera.
Toda isometría tiene una isometría inversa (aquella que al componerla con la primera da la identidad).

Esto quiere decir que da igual cuántas isometrías sucesivas apliquemos y de qué tipo sean: el resultado final será equivalente a aplicar una sola isometría, que además es reversible (invertible). Dentro de las isometrías, también hay subgrupos. Las traslaciones forman un grupo propio. Los giros también forman un grupo propio. Si combinamos las traslaciones con los giros, obtenemos otro grupo propio (llamado grupo euclídeo orientado). Nota: El grupo formado por las traslaciones es, además un grupo conmutativo (o grupo abeliano), lo que significa que al componer dos traslaciones da igual el orden en que lo hagamos. Esto se debe a que la matriz de cambio de base de cualquier traslación es la matriz identidad, por lo que las matrices de las transformaciones afines correspondientes son conmutables. El resto de las composiciones, en general, no conmutan. Sin embargo, las reflexiones no pueden formar un grupo porque cambian la orientación, así que al componer dos de ellas cualesquiera volvemos a la orientación original, lo cual solo es posible mediante un giro o una traslación. Además, la composición de reflexiones, incluso aunque se compongan en número impar (como en el caso de la simetría central), no tiene por qué ser una reflexión. En la siguiente construcción se ha girado 180º el poliedro F alrededor del eje Z y después se ha reflejado en el plano XY, obteniendo finalmente el poliedro verde F. Como puedes comprobar, hemos obtenido el mismo resultado que realizando una simetría central en (0,0,0). Ahora bien, la composición del giro y la reflexión realizadas no equivale a una reflexión. Puedes comprobarlo moviendo el punto R que determina la dirección normal del plano de reflexión, que transforma F en el poliedro amarillo F. Por mucho que muevas ese plano, no conseguirás que el poliedro amarillo F coincida con el poliedro verde F.

Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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