Duas Torneiras
Problema: Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas a mais que a outra. Determine o tempo que cada uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.
Claramente, este é um problema de natureza quantitativa, que envolve o conceito de vazão:
vazão é o volume de um determinado fluido que passa por uma determinada seção de um conduto por unidade de tempo. Por exemplo, se uma torneira enche um tanque de volume em um tempo , dizemos que ela possui uma vazão de
Identificação das Variáveis
Seguindo a estratégia esboçada anteriormente, vamos chamar de e o tempo que cada torneira leva para encher o tanque, cujo volume vamos chamar de . Além disso, vamos chamar de e a vazão de cada torneira.
Relação entre as Variáveis
Vamos agora interpretar os dados do problema em termos das variáveis identificadas. Pela definição de vazão,
e
Assumindo que a primeira torneira é a "mais rápida", temos que
já que para encher o mesmo tanque, a torneira mais lenta gasta a mais que a outra. Finalmente, as duas torneiras juntas funcionam como uma única torneira de vazão , de modo que já que juntas elas enchem o tanque em . A animação abaixo ilustra a situação do problema.Resolução das Equações
Chegamos ao seguinte sistema de equações que relacionam as variáveis do problema
(os números ao lado das equações servem para nos referirmos a elas) Agora estamos no domínio da álgebra e podemos aplicar todas as regras válidas de manipulação de equações. Por exemplo, podemos substituir as equações (1) e (2) na equação (4) para obter a equação
Como estamos assumindo que o tanque tem algum volume, temos que é diferente de zero, por isso podemos dividir ambos os membros da equação (5) por , obtendo a equação
Finalmente, substituindo a equação (3) na equação (6), temos que uma equação que envolve apenas a variável :
Somando as frações do lado esquerdo, temos que
Donde concluimos que
ou seja,
Que é uma equação do segundo grau em que possui soluções
ou .
Verificação da Solução
Claramente a solução não faz sentido dentro do problema, portanto a única solução possível acontece se , donde concluímos que . Substituindo esses valores na equação (6), comprovamos de fato que eles fornecem a solução do problema. Sendo assim, uma torneira leva para encher o tanque e a outra leva .
Problemas Propostos
Problema: Um avião começou a viagem a uma velocidade de 200 km/h. Quando ainda faltavam 600km para chegar ao destino, ele aumentou a velocidade para 300km/h. Se a velocidade média do voo foi de 240km/h, qual foi a distância percorrida?