Parameterkurve kubischer Splines
Definiere kubische Polynome pi i=1..n zwischen Stützpunkten ( Xi , Yi ) i=1...n+1
, t=0...1
p( i, 0)=xi , p( i ,1) = xi+1
p( i, 0)=yi , p( i ,1) = yi+1
für eine geschlossene Kurve ist (Xn+1 , Yn+1 ) = (X1 , Y1 ) - jede Definition ergibt n Gleichungen - zusammengefasst in Matrix D (18):
n=3: A=(1/2, 2), B=(5/2, 2), C=(3/2, -1) ===>
geschlossene Splinekurve ABCA:
{p(1,1)=X(2)-X(1),p(2,1)=X(3)-X(2),p(3,1)=X(1)-X(3)}
{p(1,1)=Y(2)-Y(1),p(2,1)=Y(3)-Y(2),p(3,1)=Y(1)-Y(3)}
{p'(1,1)-p'(2,0)=0,p'(2,1)-p'(3,0)=0,p'(3,1)-p'(1,0)=0}
{p''(1,1)-p''(2,0)=0,p''(2,1)-p''(3,0)=0,p''(3,1)-p'(1,0)=0}
===>
D ( aij ) = (Xi+1-Xi) D ( aij ) = (Yi+1-Yi) :
| p( i , 1 ) + Xi = p( i+1 , 0 ) + Xi+1 => | p( i , 1 ) = Xi+1 - Xi | Anschluß an den Stützstellen Xi analog für Yi | (7) |
| p'( i , 1) = p'( i+1,0) | | an den Übergängen gleiche Steigung | (8) |
| p''( i , 1) = p''( i+1,0) | | und Krümmung i=1...n | (9) |
| ( aij ) = D-1 (Xi+1-Xi) ( aij ) = D-1 (Yi+1-Yi) | | |
