LA ELIPSE
En la imagen están representados unos ejes cartesianos.
1º Desplaza el punto Q libremente, y observa el valor de las sumas de distancias a dos puntos fijos F1 y F2 que está calculado en la parte superior.
¿Esta suma de distancias puede tomar cualquier valor?
Determina cuál es el valor mínimo de esta suma e indica la posición del punto.
2º Desplaza el punto P y comprueba que ocurre con la suma de distancias a F1 y F2 (FOCOS) que está calculado en la parte superior derecha.
Al variar las posiciones de este punto P se obtiene una curva llamada ELIPSE. Defínela como lugar geométrico.
¿Tiene algún tipo de simetría la elipse? ¿por qué?
¿Qué cumplen los puntos que no están situados en la elipse?
3º Para obtener esta elipse se han fijado los dos focos en el eje de abcisas a una distancia c de 4 unidades, cada uno, del origen de coordenadas. Y se ha fijado la suma de distancias a los focos como 10 unidades.
Los cortes A(a,0), A´(-a,0), B(0,b) y B´(0,-b) de la elipse con los ejes de coordenadas se llaman VÉRTICES.
Determina el valor de a (SEMIEJE MAYOR) en función del valor de la suma de distancias de los puntos de la elipse a los focos. (Para justificarlo puedes situar el punto P sobre A)
¿Qué relación hay entre a, b y c? . (Para justificarlo puedes situar el punto P sobre B)
Determina el valor de b (SEMIEJE MENOR) en función de a y c.
4º La proporción o cociente entre c y a se llama EXCENTRICIDAD, e = c/a
Si mantenemos el valor de a=5 , observa al modificar el valor de b, con el deslizador situado en la parte inferior derecha, cómo varían los focos y la forma de la elipse.
¿Qué ocurre cuando a=b?
¿Entre qué valores varía la excentricidad?
¿Qué interpretación podemos dar a la excentricidad?
5º En la parte superior izquierda se encuentra la ecuación de la elipse.
Para el caso a=5 y b=3 , utilizando la definición de la elipse como lugar geométrico, obtén su ecuación.
Modifica el valor de b, y deduce para cualquier valor de a y b cuál es la ecuación de la elipse.
6º Si ahora mantenemos el valor de b=3 , observa al modificar el valor de a cómo varía la elipse.
¿Qué diferencias se observan al comparar los casos a<b , a=b y a>b?
En el caso a<b , ¿qué relación hay entre a, b y c? ¿cuál es su excentricidad? 7º Determina la ecuación de la elipse cuyos focos están situados en el eje de abcisas a una distancia entre ellos de 4 unidades y con semieje mayor 2,5 unidades. 8º Las siguientes expresiones son ecuaciones de elipses. Determina en cada una de ellas los focos, los vértices y la excentricidad.
9º Las elipses vistas hasta ahora estaban centradas en el origen de coordenadas, la ecuación vista es la forma canónica.
Si desplazamos la elipse situando el centro con los deslizadores situados en la parte inferior izquierda, lógicamente se mantienen sus valores característicos a, b, c y e, y sus relaciones. Los vértices y focos habrán sido desplazados. Compruébalo en diferentes casos y observa su ecuación.
Determina losfocos, los vértices y la ecuación de las siguientes elipses: a) Centrada en (3,2), a=5 y b=3 b) Centrada en (-1,-3),con el eje mayor horizontal, a=5 y excentricidad 0,6