4.3 Determinantes
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Alemán.
Los determinantes están mucho más lejos del centro del álgebra lineal de lo que estaban hace cien años. ¡Las matemáticas siguen cambiando de dirección! Después de todo, un simple número puede decir tanto sobre una matriz. De todos modos, es extraordinario cuánto puede hacer este número.Un punto de vista es: el determinante constituye una fórmula "explícita" para cada elementode y . Esta fórmula no modifica la manera de realizar los cálculos; incluso el determinante en sí se encuentra por eliminación. De hecho, la eliminación puede considerarse como la manera más eficiente de sustituir los elementos de una matriz de n por n en la fórmula. Lo que hace la fórmula es mostrar cómo depende de los elementos de A, y la forma en que varía cuando los elementos cambian.Los usos más importantes de los determinantes pueden enumerarse como se muestra a continuación:
1. Prueban la invertibilidad. Si el determinante de A es cero, entones A es singular det A no es cero, entonces A es invertible.
2. La aplicación más importante, y la razón por la que este capítulo es esencial para el libro, es en la familia de matrices El parámetro se resta a lo largo de toda la diagonal principal, y el problema consiste en encontrar los valores característicos para los cuales es singular. La prueba es . Este polinomio de grado n en .tiene exactamente n raíces. La matriz tiene n valores propios. Este hecho se concluye por la fórmula del determinante, y no por computadora
Propiedades del Determinante
Consisten en una lista bastante larga. Por fortuna, cada regla es fácil de encontrar, e incluso más fácil de ilustrar, mediante un ejemplo de 2 por 2. En consecuencia, se comprobará que la conocida definición en el caso de 2 por 2:
posee cada propiedad de la lista. (Observe las dos notaciones aceptadas para el determinante, det A y IAI.) Las propiedades de 4 a 10 se deducen de las propiedades previas. Cada propiedad es una consecuencia de las tres primeras. Se recalca que las reglas son válidas para matrices cuadradas de cualquier tamaño.
1. El determinante de la matriz identidad es 1.
2. El determinante cambia de signo cuando se intercambian dos renglones.
3. El determinante depende linealmente del primer renglón. Suponga que A, B, C son iguales a partir del segundo renglón, y que el renglón l de A es una combinación lineal de los primeros renglones de B y C. Entonces la regla establece: det A es la misma combinación que det B y det C. Las combinaciones lineales implican dos operaciones: sumar vectores y multiplicar por escalares. Por consiguiente, esta regla puede separarse en dos partes:
Observe que la parte no es la afirmación falsa det(B + C) = det B + det C:· No es posible sumar todos los renglones: sólo se permite cambiar a un renglón. Ambos miembros proporcionan la respuesta ad + a' d - be - b' c. .La segunda parte no es la afirmación falsa det(tA) = t det A. La matriz A tiene un factor t en cada renglón (y el determinante se multiplica por ).
Estas 3 propiedades determinan completamente el determinante, nque este hecho no es nada evidente. En consecuencia, las reglas siguientes son consecuencia de estas 3 primerasy se aplican gradualmente para encontrar el determinante de cualquier matriz.
4. Si dos filas de A son iguales, entonces det A = 0.
Esto se concluye de la regla 2, ya que si se intercambian los renglones iguales, se supone que el determinante cambia de signo. Pero también queda igual, porque la matriz no cambia. El único número capaz de hacer esto es el cero, de modo que det A = O. (El razonamiento falla si 1 = -1, que es el caso en álgebra booleana. Así, la regla 4 sustituye a la regla 2 como una de las propiedades definitorias).
5. Restar un múltiplo de un renglón de otro renglón deja igual al determinante.
La regla 3 indica que hay otro término pero por la regla 4 este término es cero.
¡el paso de eliminación, como de costumbre, no afecta al determinante!
6. Si A tiene una filade ceros, entonces det A = 0.
Una demostración consiste en sumar otra fila a la fila de ceros. Por la regla 5, el determmante
permanece sin cambio. Debido a que ahora la matriz cuenta con dos filas idénticos, por la regla 4 se tiene que det A = 0
7. Si A es triangular, entonces det A es el producto a11a22 • • • ann de los elementos en la diagonal. Si la A triangular tiene un0sa lo largo de la diagonal, entonces det A = 1.
Demostración Suponga que los elementos en la diagonal son diferentes de cero. Entonces la eliminación es capaz de eliminar todos los elementos fuera de la diagonal sin modificar el determinante (por la regla 5). Si A es triangular inferior, los pasos son hacia abajo, como de costumbre.Si A es triangular superior, primero se trabaja con la última columna, utilizando muluplos de ann· De cualquier forma se llega a la matriz diagonal D:
Para encontrar det D, paciente se aplica la regla 3. Al factorizar a11 y luego a22 y por último ann, se obtiene la matriz identidad. Por fin tenemos una aplicación para la regla 1: det I = l.
Si un elemento en la diagonal es cero, entonces la eliminación produce un renglón cero.Por la regla 5, estos pasos de la eliminación no cambian el determinante. Por la regla 6, el renglon cero significa un determinante cero. Es deci, cuando una matriz triangular es singular (debido a un cero en la diagonal principal), su determinante es cero.Esta propiedad es fundamental. El determinante de todas lasmatrices singulares es cero.
8. Si A es singular, entonces det A = 0. Si A es invertible, entonces det A no es cero.
Si A es singular, la eliminación produce un renglón cero en U. Así, det A = det U = O. Si A es no singular, la eliminación coloca los pivotes d1, ••• , dn en la diagonal principal ¡Se tiene una fórmula para el "producto de pivotes" de det A! El signo depende de si el número de intercambio de renglones es par o impar.
La regla nueve es la regla del producto. Yo diría que es la más sorprendente.
9. El determinante de AB es el producto de det A por det B.
Un caso particular de esta regla proporciona el determinante de , Debe ser 1/det A:
En el caso de 2 por 2, la regla del producto puede comprobarse pacientemente:
(ad - bc)(eh - j g) = (ae + bg)(cj + dh) - (aj+ bh)(ce + dg).
En el caso de n por n, es más complicado
10. La traspuesta de A tiene el mismo determinante que A misma: det At = det A.
Este hecho prácticamente duplica la lista de propiedades, ya que cada regla aplicada a los renglones puede aplicarse ahora a las columnas: el detenninante cambia de signo cuando se intercambian dos columnas, dos columnas iguales (o una columna de ceros) producen un determinante cero, y el determinante depende linealmente de cada columna individual. La demostración consiste justamente en trasponer la matriz y trabajar con los renglones. Considero que es hora de guardar silencio y declarar que la lista está completa. Sólo queda encontrar una fórmula definitiva para el determinante, y aplicarla.