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フェルマー三角形の等分

これ不思議。なぜだろう?  何とか証明できないだろうか。

まず、面積を三角関数を使って出してみる

赤=(FG・BC・sin(α)+EG・AC・sin(β)+DG・AB・sin(γ)) 青=(FG・BC・sin(60°-α)+EG・AC・sin(60°-β)+DG・AB・sin(60°-γ))  =(FG・BC・(cos(α)-sin(α))+EG・AC・(cos(β)-sin(β))+DG・AB・(cos(γ)-sin(γ)) 青-赤=FG・BC・(cos(α)-sin(α))+EG・AC・(cos(β)-sin(β))+DG・AB・(cos(γ)-sin(γ)) =(FG・BC・(cos(α)-sin(α))+EG・AC・(cos(β)-sin(β))+DG・AB・(cos(γ)-sin(γ))) =(FG・BC・sin(30°-α)+EG・AC・sin(30°-β)+DG・AB・sin(30°-γ))・・・(A) この値が0になれば、証明が終わる。 ここで、この式を図で表してみる。(この30°というのはどういう意味なんだ?) 正三角形の半分だから、 しかも30°-αはピッタリ∠OFG。 つまり、下図のように表わせる。

Oは外心。(A)=水色+橙+緑=0であることを示す。半分にして三角形で考えても同じ。

3つの三角形を等積変換してから、フェルマー三角形におけるピタゴラスの定理を使うと、

青-赤=0の証明

t7+t8+t9=  (1) 一方、「フェルマー三角形におけるピタゴラスの定理」により (t7-t1)+(t8+t2)+(t9-t3)=  (2) (1)-(2)=t1-t2+t3=0 つまり、橙+緑+水色=0なので、青=赤。(証明終わり) これを証明するのに一週間かかった。 でも楽しかった。