Planteamiento
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery.
Consideraremos, por razones que expondremos en el siguiente apartado, que la botella de Piaget tiene forma ortoédrica. Denominaremos a a la altura de la botella y b a su anchura. Inicialmente, la botella está llena de líquido hasta una altura h. Supondremos también que la botella se encuentra cerrada, para poder analizar todos los casos "sin pérdida de líquido".
En la sección 2 ("Caso particular: botella mediada") analizaremos el caso en que h = a/2, es decir, la botella se encuentra llena hasta su mitad exacta. Veremos que en esta situación tanto las construcciones como los cálculos se simplifican notablemente respecto al caso general. Ello se debe a que se produce la circunstancia de que al inclinar la botella el líquido alcanza simultáneamente las bases inferior y superior, de modo que el nivel del líquido permanece en todo momento entre dos caras enfrentadas del ortoedro.
En la sección 3 ("Caso general: soluciones") abordaremos el caso general, en donde el líquido puede alcanzar inicialmente cualquier altura h. Modelizaremos el comportamiento y calcularemos la altura del nivel del líquido dependiendo de su posición respecto a la botella, diferenciando cuatro posiciones:
- Posición 1: El nivel del líquido se encuentra encerrado entre los rectángulos laterales de la botella.
- Posición 2: El nivel se encuentra entre la base inferior y un lateral.
- Posición 3: El nivel se encuentra entre un lateral y la base superior.
- Posición 4: El nivel se encuentra entre las dos bases.
En la sección 4 ("GeoGebra Discovery") introduciremos en qué consiste este programa de cálculo simbólico asociado a GeoGebra y cómo lo podemos usar para realizar demostraciones automáticas. Lo aplicaremos a la demostración del teorema de la altura e intentaremos aplicarlo para demostrar los resultados obtenidos para las posiciones 1 y 2 en la sección anterior. Veremos que en algunos casos el programa ya es capaz de realizar la demostración automática, mientras que en otros todavía (es un software en desarrollo) es necesaria la intervención humana para "guiarle".
Finalmente, en la sección 5 ("Conclusiones") resumiremos el estado actual en el que se encuentra el uso de este programa, sus limitaciones y aspiraciones, así como su previsible uso futuro como herramienta de cálculo algebraico, demostración lógica y descubrimiento geométrico. En definitiva, como herramienta de aprendizaje e investigación.